Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento do arco dado.
(a) x = t^2/2 + t, y = t^2/2 - t; de t = 0 a t = 1
(b) x = 3 t^2, y = 2 t^3; de t = 0 a t = 3
© x = t^2 + 2t, y = t^2 - 2t; de t = 0 a t = 2
(d) x = t^3 + t, y = 3t^2; de t = -2 a t = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida pelas equações paramétricas e , quando o parâmetro varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matéria de Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por e . A fórmula é:
Onde:
  • é o comprimento do arco.
  • e são as derivadas de e em relação a .
  • e são os valores iniciais e finais de .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas das funções e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz para facilitar a integração.

Passo 5

Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:

Passo 6

Podemos fatorar o 2 de dentro da raiz para simplificar ainda mais:
Assim, a integral vira:

Passo 7

Agora, precisamos resolver a integral . A antiderivada dessa função é conhecida e é:
Onde é a constante de integração.

Passo 8

Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Como :

Passo 9

Calculando cada termo:
E:
Portanto:

Resposta

O comprimento do arco da curva, de a , é .

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