Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento do arco dado.
(a)
; de
a
(b)
; de
a
©
; de
a
(d)
; de
a
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o comprimento do arco da curva definida pelas equações paramétricas
e
, quando o parâmetro
varia de 0 a 1. Para isso, vamos usar o conceito de comprimento de arco da matéria de Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular o comprimento do arco de uma curva parametrizada por
e
. A fórmula é:
Onde:
-
é o comprimento do arco. -
e são as derivadas de e em relação a . -
e são os valores iniciais e finais de .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas das funções
e
:
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do comprimento do arco:
Vamos simplificar o que está dentro da raiz para facilitar a integração.
Passo 5
Simplificando a expressão dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Passo 6
Podemos fatorar o 2 de dentro da raiz para simplificar ainda mais:
Assim, a integral vira:
Passo 7
Agora, precisamos resolver a integral
. A antiderivada dessa função é conhecida e é:
Onde
é a constante de integração.
Passo 8
Aplicando os limites de integração de 0 a 1:
Simplificando:
Como
:
Passo 9
Calculando cada termo:
E:
Portanto:
Resposta
O comprimento do arco da curva, de
a
, é
.
Exercícios relacionados
Calcule
.
b) e
.
b)
Seja
.
b) Calcule um valor aproximado para , correspondente a
e
.
b) Calcule um valor aproximado para
Encontre o comprimento de arco da curva,
Se a equação vetorial da curva
for
, encontre o cosseno do ângulo entre os vetores
e