Calcule d/z dt.
b) z = x^2 + 3 y^2, x = sen(t) e y = cos(t).

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo de derivadas. Precisamos encontrar a derivada de em relação a dado que , onde e . Para isso, vamos usar a regra da cadeia, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que é uma função de e , que por sua vez são funções de . Nossa tarefa é encontrar .

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia para derivadas parciais:
Isso significa que precisamos derivar em relação a e , e depois multiplicar pelas derivadas de e em relação a .

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de :

Passo 5

Agora, derivamos e em relação a :

Passo 6

Substituímos essas derivadas na expressão da regra da cadeia:

Passo 7

Agora, substituímos e na equação:

Passo 8

Simplificamos a expressão:

Passo 9

Podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar ainda mais:
Substituindo na expressão:

Resposta

A derivada de em relação a é:

Exercícios relacionados

Seja z = x * e * (x^2 - y^2).
b) Calcule um valor aproximado para z, correspondente a x = 1,01 e y = 1,002.
Prove que se C e D forem vetores constantes e f e g forem funções integráveis, então
integral[C f(t)+D g(t)] d t=C integral f(t) d t+D integral g(t) d t
Nos exercícios a seguir, encontre o comprimento do arco dado.
(a) x = t^2/2 + t, y = t^2/2 - t; de t = 0 a t = 1
(b) x = 3 t^2, y = 2 t^3; de t = 0 a t = 3
© x = t^2 + 2t, y = t^2 - 2t; de t = 0 a t = 2
(d) x = t^3 + t, y = 3t^2; de t = -2 a t = 0
Encontre o comprimento de arco da curva,
sigma(t) = (2 - 3t)i + (4t - 1)j + t^2k de t = 0 a t = 5/2