Encontre um conjunto de dados populacional que contenha seis entradas, média de 5 e que tenha desvio padrão de 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto de dados populacional que tenha seis números, com uma média de 5 e um desvio padrão de 2. Então, vamos precisar entender como calcular a média e o desvio padrão para criar esse conjunto de dados do jeito que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a média. A média de um conjunto de números é simplesmente a soma de todos esses números dividida pela quantidade de elementos. A fórmula fica assim:
Média (mu) = sumi=1^N xiN é
Onde:
  • é a média,
  • são os valores individuais,
  • é o número de elementos.
No nosso caso, sabemos que a média é 5 e temos 6 números, então podemos calcular a soma total desses números.

Passo 3

Vamos calcular a soma total dos números usando a fórmula da média:
5 = sumi=1^6 xi6
Multiplicando ambos os lados por 6:
sumi=1^6 xi = 5 times 6 = 30
Então, a soma dos seis números precisa ser 30.

Passo 4

Agora, vamos pensar no desvio padrão. O desvio padrão nos mostra o quanto os números estão espalhados em relação à média. A fórmula para o desvio padrão populacional é:
sigma = raizsumi=1^N (xi - mu)^2N
Onde:
  • é o desvio padrão,
  • é a média,
  • são os valores individuais,
  • é o número de elementos.
No nosso caso, o desvio padrão é 2, então vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças em relação à média.

Passo 5

Vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças:
2 = raizsumi=1^6 (xi - 5)^26
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
4 = sumi=1^6 (xi - 5)^26
Multiplicando ambos os lados por 6:
sumi=1^6 (xi - 5)^2 = 24
Então, a soma dos quadrados das diferenças em relação à média precisa ser 24.

Passo 6

Agora, nosso objetivo é encontrar seis números que somem 30 e cuja soma dos quadrados das diferenças em relação a 5 seja 24. Vamos tentar construir esse conjunto de dados.
Vamos pensar em números que fiquem em torno da média 5, mas com diferenças que, quando quadradas e somadas, dêem 24. Um jeito de facilitar é assumir que alguns números terão a mesma diferença positiva e outros a mesma negativa.

Passo 7

Vamos propor os seguintes números:
5 + a, 5 + a, 5 + b, 5 + b, 5 + c, 5 + c
Como a soma dos números é 30:
(5 + a) + (5 + a) + (5 + b) + (5 + b) + (5 + c) + (5 + c) = 30
Simplificando:
6 times 5 + 2a + 2b + 2c = 30 30 + 2(a + b + c) = 30 2(a + b + c) = 0 a + b + c = 0
Além disso, a soma dos quadrados das diferenças deve ser 24:
(a)^2 + (a)^2 + (b)^2 + (b)^2 + (c)^2 + (c)^2 = 24 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 = 24 a^2 + b^2 + c^2 = 12

Passo 8

Para simplificar, vamos assumir que 2a + c = 0 Rightarrow c = -2a . Então:
a^2 + a^2 + (-2a)^2 = 12 2a^2 + 4a^2 = 12 6a^2 = 12 a^2 = 2 a = raiz2
Substituindo na equação dos quadrados:
Portanto, e .

Passo 9

Agora, podemos construir o conjunto de dados:
5 + raiz2, 5 + raiz2, 5 + raiz2, 5 + raiz2, 5 - 2raiz2, 5 - 2raiz2
Vamos verificar:
  • Soma: 4 times (raiz2)^2 + 2 times (-2raiz2)^2 = 4 times 2 + 2 times 8 = 8 + 16 = 24
  • Soma dos quadrados das diferenças:
Tudo confere!

Resposta

Um conjunto de dados que atende aos requisitos é:
,5 + raiz2,; 5 + raiz2,; 5 + raiz2,; 5 + raiz2,; 5 - 2raiz2,; 5 - 2raiz2,
Ou, se preferir uma aproximação decimal:
,6,41,; 6,41,; 6,41,; 6,41,; 2,17,; 2,17,

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