Encontre um conjunto de dados populacional que contenha seis entradas, média de 5 e que tenha desvio padrão de 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto de dados populacional que tenha seis números, com uma média de 5 e um desvio padrão de 2. Então, vamos precisar entender como calcular a média e o desvio padrão para criar esse conjunto de dados do jeito que a gente precisa.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a média. A média de um conjunto de números é simplesmente a soma de todos esses números dividida pela quantidade de elementos. A fórmula fica assim:
é
Onde:
  • é a média,
  • são os valores individuais,
  • é o número de elementos.
No nosso caso, sabemos que a média é 5 e temos 6 números, então podemos calcular a soma total desses números.

Passo 3

Vamos calcular a soma total dos números usando a fórmula da média:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Então, a soma dos seis números precisa ser 30.

Passo 4

Agora, vamos pensar no desvio padrão. O desvio padrão nos mostra o quanto os números estão espalhados em relação à média. A fórmula para o desvio padrão populacional é:
Onde:
  • é o desvio padrão,
  • é a média,
  • são os valores individuais,
  • é o número de elementos.
No nosso caso, o desvio padrão é 2, então vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças em relação à média.

Passo 5

Vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Então, a soma dos quadrados das diferenças em relação à média precisa ser 24.

Passo 6

Agora, nosso objetivo é encontrar seis números que somem 30 e cuja soma dos quadrados das diferenças em relação a 5 seja 24. Vamos tentar construir esse conjunto de dados.
Vamos pensar em números que fiquem em torno da média 5, mas com diferenças que, quando quadradas e somadas, dêem 24. Um jeito de facilitar é assumir que alguns números terão a mesma diferença positiva e outros a mesma negativa.

Passo 7

Vamos propor os seguintes números:
Como a soma dos números é 30:
Simplificando:
Além disso, a soma dos quadrados das diferenças deve ser 24:

Passo 8

Para simplificar, vamos assumir que . Então:
Substituindo na equação dos quadrados:
Portanto, e .

Passo 9

Agora, podemos construir o conjunto de dados:
Vamos verificar:
  • Soma:
  • Soma dos quadrados das diferenças:
Tudo confere!

Resposta

Um conjunto de dados que atende aos requisitos é:
Ou, se preferir uma aproximação decimal:

Exercícios relacionados

Nos exercicios 3 e 4, encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrâo do conjunto de dados amostral.
4.
Explique como encontramos o desvio de uma entrada em um conjunto de dados. Qual é a soma de todos os desvios em um conjunto de dados?
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(b) e .
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade tal que o espaço amostral é , a -álgebra de eventos é o conjunto das partes de e é uma probabilidade tal que para todo subconjunto nảo vazio de . Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis ( não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis ( contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d) e .