Encontre um conjunto de dados populacional que contenha seis entradas, média de 5 e que tenha desvio padrão de 2.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar um conjunto de dados populacional que tenha seis números, com uma média de 5 e um desvio padrão de 2. Então, vamos precisar entender como calcular a média e o desvio padrão para criar esse conjunto de dados do jeito que a gente precisa.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a média. A média de um conjunto de números é simplesmente a soma de todos esses números dividida pela quantidade de elementos. A fórmula fica assim:
Onde:
-
é a média, -
são os valores individuais, -
é o número de elementos.
No nosso caso, sabemos que a média é 5 e temos 6 números, então podemos calcular a soma total desses números.
Passo 3
Vamos calcular a soma total dos números usando a fórmula da média:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Então, a soma dos seis números precisa ser 30.
Passo 4
Agora, vamos pensar no desvio padrão. O desvio padrão nos mostra o quanto os números estão espalhados em relação à média. A fórmula para o desvio padrão populacional é:
Onde:
-
é o desvio padrão, -
é a média, -
são os valores individuais, -
é o número de elementos.
No nosso caso, o desvio padrão é 2, então vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças em relação à média.
Passo 5
Vamos calcular a soma dos quadrados das diferenças:
Primeiro, elevamos ambos os lados ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados por 6:
Então, a soma dos quadrados das diferenças em relação à média precisa ser 24.
Passo 6
Agora, nosso objetivo é encontrar seis números que somem 30 e cuja soma dos quadrados das diferenças em relação a 5 seja 24. Vamos tentar construir esse conjunto de dados.
Vamos pensar em números que fiquem em torno da média 5, mas com diferenças que, quando quadradas e somadas, dêem 24. Um jeito de facilitar é assumir que alguns números terão a mesma diferença positiva e outros a mesma negativa.
Passo 7
Vamos propor os seguintes números:
Como a soma dos números é 30:
Simplificando:
Além disso, a soma dos quadrados das diferenças deve ser 24:
Passo 8
Para simplificar, vamos assumir que
. Então:
Substituindo na equação dos quadrados:
Portanto,
e
.
Passo 9
Agora, podemos construir o conjunto de dados:
Vamos verificar:
- Soma:
- Soma dos quadrados das diferenças:
Tudo confere!
Resposta
Um conjunto de dados que atende aos requisitos é:
Ou, se preferir uma aproximação decimal:
Exercícios relacionados
Nos exercicios 3 e 4, encontre a amplitude, a média, a variância e o desvio padrâo do conjunto de dados amostral.
4.
4.
Explique como encontramos o desvio de uma entrada em um conjunto de dados. Qual é a soma de todos os desvios em um conjunto de dados?
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
-álgebra de eventos é
o conjunto das partes de
e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(b) e
.
(b)
($ pontos) Considere um espaço de probabilidade
tal que o espaço amostral é
, a
-álgebra de eventos é
o conjunto das partes de
e
é uma probabilidade tal que
para todo subconjunto nảo vazio
de
. Diga quais das situaçōes descritas a seguir sāo possf́veis (
não contradiz nenhum dos axiomas de Kolmogorov) e quais não são possiveis (
contradiz algum dos axiomas de Kolmogorov).
(d) e
.
(d)