Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas de equações lineares:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um sistema com 3 equações e 4 incógnitas ( , , , ). Nosso objetivo é encontrar todos os valores de , , e que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de forma mais clara:
çãçãçã

Passo 3

Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis de duas das equações para simplificar. Vamos escolher eliminar . Para isso, podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e subtrair da Equação 2:
Multiplicando a Equação 1 por 2:
çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1a:
Isso simplifica para:
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar novamente, mas usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 3 e subtraímos da Equação 3:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
çã
Subtraindo a Equação 3 da Equação 1b:
Isso simplifica para:
çã

Passo 5

Agora temos duas novas equações sem :
çãçã
Observamos que a Equação 5 é apenas o dobro da Equação 4. Isso significa que elas são essencialmente a mesma equação, o que indica que temos infinitas soluções dependendo de uma das variáveis. Vamos resolver a Equação 4 para :

Passo 6

Agora que encontramos em termos de , vamos voltar à Equação 1 e substituir por para encontrar uma relação entre , e .
Substituindo na Equação 1:
Simplificando:

Passo 7

Agora, temos a equação:
çã
Como temos duas variáveis ( e ) nessa equação, precisamos de mais uma relação para resolver. Mas como temos mais uma variável livre ( ), vamos escolher uma variável como livre. Vamos definir como um parâmetro livre, digamos .
Então, temos:

Passo 8

Substituindo na Equação 6:
çã
Agora, temos uma relação entre e . Podemos expressar uma delas em termos da outra. Vamos expressar em termos de e :

Passo 9

Até agora, temos:
Como também pode ser uma variável livre, vamos definir , onde é outro parâmetro livre.
Assim, temos:

Passo 10

Agora, substituindo na expressão para :
Então, todas as variáveis estão agora expressas em termos de e .

Resposta

O conjunto solução do sistema é:
onde e são números reais quaisquer.

Exercícios relacionados

Sendo e o ângulo entre os vetores e , calcular
Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas de equações lineares:
Apresente detalhadamente o modelo de crescimento AK. Mostre como uma taxação distorsiva pode afetar o crescimento da economia de mercado no longo prazo.
Modelo de Solow com capital humano
Suponha uma economia de Solow com capital humano descrita pelas seguintes equações:
As seguintes suposições são feitas: i) A(t) cresce a uma taxa constante g; ii) L(t) cresce a uma taxa constante n ; iii) cada indivíduo vive T anos, gasta E anos estudando e T-E anos trabalhando; iv) o número de pessoas nascidas por unidade de tempo, , cresce a uma taxa n ; v) a população total, , cresce a uma taxa ) a taxa de depreciação do capital é igual a ; vii) uma fração exógena do produto, , é poupada.
Encontre as expressões para e .