Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas de equações lineares:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um sistema com 3 equações e 4 incógnitas (, , , ). Nosso objetivo é encontrar todos os valores de , , e que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.
Passo 2
Vamos começar escrevendo o sistema de forma mais clara:
çãçãçã
Passo 3
Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis de duas das equações para simplificar. Vamos escolher eliminar . Para isso, podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e subtrair da Equação 2:
Multiplicando a Equação 1 por 2:
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Subtraindo a Equação 2 da Equação 1a:
Isso simplifica para:
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Passo 4
Agora, vamos eliminar novamente, mas usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 3 e subtraímos da Equação 3:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
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Subtraindo a Equação 3 da Equação 1b:
Isso simplifica para:
çã
Passo 5
Agora temos duas novas equações sem :
çãçã
Observamos que a Equação 5 é apenas o dobro da Equação 4. Isso significa que elas são essencialmente a mesma equação, o que indica que temos infinitas soluções dependendo de uma das variáveis. Vamos resolver a Equação 4 para :
Passo 6
Agora que encontramos em termos de , vamos voltar à Equação 1 e substituir por para encontrar uma relação entre , e .
Substituindo na Equação 1:
Simplificando:
Passo 7
Agora, temos a equação:
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Como temos duas variáveis ( e ) nessa equação, precisamos de mais uma relação para resolver. Mas como temos mais uma variável livre (), vamos escolher uma variável como livre. Vamos definir como um parâmetro livre, digamos .
Então, temos:
Passo 8
Substituindo na Equação 6:
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Agora, temos uma relação entre e . Podemos expressar uma delas em termos da outra. Vamos expressar em termos de e :
Passo 9
Até agora, temos:
Como também pode ser uma variável livre, vamos definir , onde é outro parâmetro livre.
Assim, temos:
Passo 10
Agora, substituindo na expressão para :
Então, todas as variáveis estão agora expressas em termos de e .