Encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas de equações lineares:
lx1+x2-2 x3+4 x4=5 2 x1+2 x2-3 x3+x4=3 3 x1+3 x2-4 x3-2 x4=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações juntos! Primeiro, vamos entender o que a gente tem aqui. Temos um sistema com 3 equações e 4 incógnitas ( x1, x2, x3, x4). Nosso objetivo é encontrar todos os valores de x1, x2, x3 e x4 que satisfazem as três equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar o método de eliminação, que ajuda a simplificar o sistema passo a passo até encontrar as soluções.

Passo 2

Vamos começar escrevendo o sistema de forma mais clara:
x1 + x2 - 2x3 + 4x4 = 5 (Equação 1) 2x1 + 2x2 - 3x3 + x4 = 3 (Equação 2) 3x1 + 3x2 - 4x3 - 2x4 = 1 (Equação 3) çãçãçã

Passo 3

Primeiro, vamos tentar eliminar uma das variáveis de duas das equações para simplificar. Vamos escolher eliminar x1. Para isso, podemos multiplicar a Equação 1 por 2 e subtrair da Equação 2:
Multiplicando a Equação 1 por 2:
2x1 + 2x2 - 4x3 + 8x4 = 10 (Equação 1a) çã
Subtraindo a Equação 2 da Equação 1a:
(2x1 + 2x2 - 4x3 + 8x4) - (2x1 + 2x2 - 3x3 + x4) = 10 - 3
Isso simplifica para:
- x3 + 7x4 = 7 (Equação 4) çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar x1 novamente, mas usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 3 e subtraímos da Equação 3:
Multiplicando a Equação 1 por 3:
3x1 + 3x2 - 6x3 + 12x4 = 15 (Equação 1b) çã
Subtraindo a Equação 3 da Equação 1b:
(3x1 + 3x2 - 6x3 + 12x4) - (3x1 + 3x2 - 4x3 - 2x4) = 15 - 1
Isso simplifica para:
-2x3 + 14x4 = 14 (Equação 5) çã

Passo 5

Agora temos duas novas equações sem x1:
- x3 + 7x4 = 7 (Equação 4) -2x3 + 14x4 = 14 (Equação 5) çãçã
Observamos que a Equação 5 é apenas o dobro da Equação 4. Isso significa que elas são essencialmente a mesma equação, o que indica que temos infinitas soluções dependendo de uma das variáveis. Vamos resolver a Equação 4 para x3:
- x3 + 7x4 = 7 implies x3 = 7x4 - 7

Passo 6

Agora que encontramos x3 em termos de x4, vamos voltar à Equação 1 e substituir x3 por 7x4 - 7 para encontrar uma relação entre x1, x2 e x4.
Substituindo na Equação 1:
x1 + x2 - 2(7x4 - 7) + 4x4 = 5
Simplificando:
x1 + x2 - 14x4 + 14 + 4x4 = 5 x1 + x2 - 10x4 = -9

Passo 7

Agora, temos a equação:
x1 + x2 - 10x4 = -9 (Equação 6) çã
Como temos duas variáveis ( x1 e x2) nessa equação, precisamos de mais uma relação para resolver. Mas como temos mais uma variável livre ( x4), vamos escolher uma variável como livre. Vamos definir x4 como um parâmetro livre, digamos t.
Então, temos:
x4 = t

Passo 8

Substituindo x4 = t na Equação 6:
x1 + x2 - 10t = -9 implies x1 + x2 = 10t - 9 (Equação 7) çã
Agora, temos uma relação entre x1 e x2. Podemos expressar uma delas em termos da outra. Vamos expressar x1 em termos de x2 e t:
x1 = 10t - 9 - x2

Passo 9

Até agora, temos:
x1 = 10t - 9 - x2 x3 = 7t - 7 x4 = t
Como x2 também pode ser uma variável livre, vamos definir x2 = s, onde s é outro parâmetro livre.
Assim, temos:
x2 = s

Passo 10

Agora, substituindo x2 = s na expressão para x1:
x1 = 10t - 9 - s
Então, todas as variáveis estão agora expressas em termos de s e t.

Resposta

O conjunto solução do sistema é:
x1 = 10t - 9 - s x2 = s x3 = 7t - 7 x4 = t
onde s e t são números reais quaisquer.

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