Sendo |u|=3,|v|=4 e 120^circ o ângulo entre os vetores u e v, calcular |u times(v-u)|

Passo 1

Beleza, vamos resolver este problema de vetores! A gente tem dois vetores, u com tamanho 3 e v com tamanho 4, formando um ângulo de 120^circ entre eles. A gente precisa calcular o módulo do produto vetorial de u com (v - u). Para isso, vamos usar algumas propriedades de produtos vetoriais e trigonometria.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do produto vetorial. Temos que calcular v - u. Isso significa que vamos subtrair as componentes de u das de v, mas como estamos interessados no módulo, podemos usar a fórmula do módulo da diferença de dois vetores.

Passo 3

O módulo de v - u é dado por:
|v - u| = raiz|v|^2 + |u|^2 - 2|v||u|costheta
Onde theta é o ângulo entre u e v, que é 120^circ. Vamos substituir os valores:
|v - u| = raiz4^2 + 3^2 - 2 cdot 4 cdot 3 cdot cos120^circ

Passo 4

Sabemos que cos120^circ = -12. Substituindo na equação:
|v - u| = raiz16 + 9 - 2 cdot 4 cdot 3 cdot (-12)
Simplificando:
|v - u| = raiz25 + 12 = raiz37

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times (v - u). O módulo desse produto é dado por:
|u times (v - u)| = |u| cdot |v - u| cdot sinphi
Onde phi é o ângulo entre u e (v - u). Mas como (v - u) forma o mesmo ângulo de 120^circ com u, temos phi = 120^circ.

Passo 6

Então, substituindo os valores:
|u times (v - u)| = 3 cdot raiz37 cdot sin120^circ
Sabemos que sin120^circ = raiz32, então:
|u times (v - u)| = 3 cdot raiz37 cdot raiz32 = 3raiz1112

Resposta

O módulo de u times (v - u) é 3raiz1112.

Exercícios relacionados