Modelo de Solow com capital humano
Suponha uma economia de Solow com capital humano descrita pelas seguintes equações:
Y(t)=[K(t)]^alpha[A(t) H(t)]^1-alpha, onde 0
As seguintes suposições são feitas: i) A(t) cresce a uma taxa constante g; ii) L(t) cresce a uma taxa constante n ; iii) cada indivíduo vive T anos, gasta E anos estudando e T-E anos trabalhando; iv) o número de pessoas nascidas por unidade de tempo, B(t), cresce a uma taxa n ; v) a população total, N(t), cresce a uma taxa n, vi ) a taxa de depreciação do capital é igual a de; vii) uma fração exógena do produto, s, é poupada.
Encontre as expressões para k^*(k=K / A L G(E)) e y^*(y=Y / A L G(E)).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo de Solow com capital humano. Basicamente, você tem uma economia onde a produção depende não só do capital físico, mas também do capital humano. Nosso objetivo aqui é encontrar as expressões para e , que representam, respectivamente, o capital por trabalhador efetivo no equilíbrio de longo prazo e a produção por trabalhador efetivo no mesmo equilíbrio. Para isso, vamos precisar entender como o capital e a produção evoluem nesse modelo e aplicar algumas fórmulas básicas da teoria econômica de crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. No modelo de Solow, geralmente normalizamos as variáveis por trabalhador efetivo para simplificar as equações. Aqui, temos:
k = KA L G(E)
y = YA L G(E)
Onde:
  • é o capital total,
  • é a produção total,
  • representa a tecnologia,
  • é o número de trabalhadores,
  • é o capital humano por trabalhador.

Passo 3

A função de produção dada é:
Y(t) = K(t)^alpha [A(t) H(t)]^1-alpha
Substituindo Y(t) = K(t)^alpha [A(t) L(t) G(E)]^1-alpha , temos:
y = YA L G(E) = ( KA L G(E) )^alpha = k^alpha
Agora, vamos dividir ambos os lados por para obter a forma per trabalhador efetivo:

Passo 4

No equilíbrio de longo prazo (steady state), o investimento por trabalhador efetivo deve igualar a depreciação mais o crescimento do efetivo trabalho. A fórmula geral para o equilíbrio é:
s y = (de
Onde:
  • s k^alpha = (de é a taxa de poupança,
  • é a taxa de depreciação,
  • é a taxa de crescimento da população,
  • é a taxa de crescimento da tecnologia.
Substituindo na equação, temos:

Passo 5

Vamos resolver para s k^alpha -1 = de. Dividindo ambos os lados por k^alpha -1 = de:
k = ( sde
Isolando k^* = ( sde:
Elevando ambos os lados à potência :
Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, vamos encontrar y^* = (k^*)^alpha = ( ( sde usando a relação y^* = ( sde:
Simplificando os expoentes:

Resposta

As expressões para o equilíbrio de longo prazo são:
k^* = ( sde
e
y^* = ( sde

Exercícios relacionados