Modelo de Solow com capital humano
Suponha uma economia de Solow com capital humano descrita pelas seguintes equações:
As seguintes suposições são feitas: i) A(t) cresce a uma taxa constante g; ii) L(t) cresce a uma taxa constante n ; iii) cada indivíduo vive T anos, gasta E anos estudando e T-E anos trabalhando; iv) o número de pessoas nascidas por unidade de tempo, , cresce a uma taxa n ; v) a população total, , cresce a uma taxa ) a taxa de depreciação do capital é igual a ; vii) uma fração exógena do produto, , é poupada.
Encontre as expressões para e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo de Solow com capital humano. Basicamente, você tem uma economia onde a produção depende não só do capital físico, mas também do capital humano. Nosso objetivo aqui é encontrar as expressões para e , que representam, respectivamente, o capital por trabalhador efetivo no equilíbrio de longo prazo e a produção por trabalhador efetivo no mesmo equilíbrio. Para isso, vamos precisar entender como o capital e a produção evoluem nesse modelo e aplicar algumas fórmulas básicas da teoria econômica de crescimento.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. No modelo de Solow, geralmente normalizamos as variáveis por trabalhador efetivo para simplificar as equações. Aqui, temos:
Onde:
  • é o capital total,
  • é a produção total,
  • representa a tecnologia,
  • é o número de trabalhadores,
  • é o capital humano por trabalhador.

Passo 3

A função de produção dada é:
Substituindo , temos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por para obter a forma per trabalhador efetivo:

Passo 4

No equilíbrio de longo prazo (steady state), o investimento por trabalhador efetivo deve igualar a depreciação mais o crescimento do efetivo trabalho. A fórmula geral para o equilíbrio é:
Onde:
  • é a taxa de poupança,
  • é a taxa de depreciação,
  • é a taxa de crescimento da população,
  • é a taxa de crescimento da tecnologia.
Substituindo na equação, temos:

Passo 5

Vamos resolver para . Dividindo ambos os lados por :
Isolando :
Elevando ambos os lados à potência :
Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, vamos encontrar usando a relação :
Simplificando os expoentes:

Resposta

As expressões para o equilíbrio de longo prazo são:
e

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