Modelo de Solow com capital humano
Suponha uma economia de Solow com capital humano descrita pelas seguintes equações:
As seguintes suposições são feitas: i) A(t) cresce a uma taxa constante g; ii) L(t) cresce a uma taxa constante n ; iii) cada indivíduo vive T anos, gasta E anos estudando e T-E anos trabalhando; iv) o número de pessoas nascidas por unidade de tempo,
, cresce a uma taxa n ; v) a população total,
, cresce a uma taxa
) a taxa de depreciação do capital é igual a
; vii) uma fração exógena do produto,
, é poupada.
Encontre as expressões para
e
.
Suponha uma economia de Solow com capital humano descrita pelas seguintes equações:
Encontre as expressões para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o modelo de Solow com capital humano. Basicamente, você tem uma economia onde a produção depende não só do capital físico, mas também do capital humano. Nosso objetivo aqui é encontrar as expressões para
e
, que representam, respectivamente, o capital por trabalhador efetivo no equilíbrio de longo prazo e a produção por trabalhador efetivo no mesmo equilíbrio. Para isso, vamos precisar entender como o capital e a produção evoluem nesse modelo e aplicar algumas fórmulas básicas da teoria econômica de crescimento.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis que vamos usar. No modelo de Solow, geralmente normalizamos as variáveis por trabalhador efetivo para simplificar as equações. Aqui, temos:
Onde:
-
é o capital total, -
é a produção total, -
representa a tecnologia, -
é o número de trabalhadores, -
é o capital humano por trabalhador.
Passo 3
A função de produção dada é:
Substituindo
, temos:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
para obter a forma per trabalhador efetivo:
Passo 4
No equilíbrio de longo prazo (steady state), o investimento por trabalhador efetivo deve igualar a depreciação mais o crescimento do efetivo trabalho. A fórmula geral para o equilíbrio é:
Onde:
-
é a taxa de poupança, -
é a taxa de depreciação, -
é a taxa de crescimento da população, -
é a taxa de crescimento da tecnologia.
Substituindo
na equação, temos:
Passo 5
Vamos resolver para
. Dividindo ambos os lados por
:
Isolando
:
Elevando ambos os lados à potência
:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
usando a relação
:
Simplificando os expoentes:
Resposta
As expressões para o equilíbrio de longo prazo são:
e