(a) Encontre as constantes a, b e c de modo que o campo de força
F=widehatx(x+2 y+a z)+widehaty(b x-3 y-z)+widehatz(4 x+c y+2 z)
seja conservativo. (b) Encontre um potencial associado a este campo de força.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes e para que o campo de força dado seja conservativo. Depois, vamos encontrar uma função potencial associada a esse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Vamos precisar calcular o rotacional do campo de força e resolver um sistema de equações para achar e . Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de força ser conservativo. Um campo é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar , ou seja, . Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional de deve ser igual a zero: .

Passo 3

Vamos calcular o rotacional de nabla times F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z ) widehatx + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x ) widehaty + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y ) widehatz . O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Fx = x + 2y + a z Fy = b x - 3y - z Fz = 4x + c y + 2 z
Vamos identificar os componentes de :

Passo 4

Vamos calcular cada componente do rotacional:
  1. Componente partial Fzpartial y = partialpartial y(4x + c y + 2 z) = c partial Fypartial z = partialpartial z(b x - 3y - z) = -1 Então, partial Fzpartial y - partial Fypartial z = c - (-1) = c + 1 :
partial Fxpartial z = partialpartial z(x + 2y + a z) = a partial Fzpartial x = partialpartial x(4x + c y + 2 z) = 4 Então, partial Fxpartial z - partial Fzpartial x = a - 4 ã
  1. Componente partial Fypartial x = partialpartial x(b x - 3y - z) = b partial Fxpartial y = partialpartial y(x + 2y + a z) = 2 Então, partial Fypartial x - partial Fxpartial y = b - 2 :
ã
  1. Componente :
ã

Passo 5

Para que o campo seja conservativo, o rotacional deve ser zero em todas as componentes. Então, temos o seguinte sistema de equações:
c + 1 = 0 a - 4 = 0 b - 2 = 0
Vamos resolver cada uma:

Passo 6

Agora que encontramos , e , vamos para a segunda parte do exercício: encontrar uma função potencial tal que .

Passo 7

Para encontrar Fx = x + 2y + 4 z Rightarrow U = integral Fx , dx = integral (x + 2y + 4 z) , dx = 12x^2 + 2y x + 4 z x + g(y, z) , vamos integrar cada componente de em relação à sua variável correspondente, tomando cuidado para que as integrais sejam consistentes.
Começamos integrando em relação a :
Aqui, é uma função de integração que pode depender de e .

Passo 8

Agora, vamos usar Fy = partial Upartial y = 2x + partial gpartial y = 2x Rightarrow partial gpartial y = -3y - z para encontrar g(y, z) = integral (-3y - z) , dy = -32y^2 - z y + h(z) . Sabemos que:
Integrando em relação a :
Onde é outra função de integração, agora apenas de .

Passo 9

Finalmente, usamos Fz = partial Upartial z = 4x + (-y) + d hd z = 4x - y + d hd z = 4x - y + 2z para encontrar h(z) = integral 2z , dz = z^2 + C . Temos:
Comparando os termos, percebemos que , então:
Onde é a constante de integração, que podemos assumir como zero para simplificar.

Passo 10

Agora, juntando tudo, a função potencial U = 12x^2 + 2y x + 4 z x - 32y^2 - z y + z^2 é:

Resposta

As constantes são U = 12x^2 + 2xy + 4xz - 32y^2 - y z + z^2 , e . A função potencial associada ao campo de força é

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