(a) Encontre as constantes
e
de modo que o campo de força
seja conservativo. (b) Encontre um potencial associado a este campo de força.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as constantes
e
para que o campo de força dado seja conservativo. Depois, vamos encontrar uma função potencial associada a esse campo. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e potenciais. Vamos precisar calcular o rotacional do campo de força e resolver um sistema de equações para achar
e
. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um campo de força ser conservativo. Um campo
é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar
, ou seja,
. Uma propriedade importante dos campos conservativos é que o rotacional de
deve ser igual a zero:
.
Passo 3
Vamos calcular o rotacional de
. O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por:
Vamos identificar os componentes de
:
Passo 4
Vamos calcular cada componente do rotacional:
- Componente
:
- Componente
:
- Componente
:
Passo 5
Para que o campo seja conservativo, o rotacional deve ser zero em todas as componentes. Então, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver cada uma:
Passo 6
Agora que encontramos
,
e
, vamos para a segunda parte do exercício: encontrar uma função potencial
tal que
.
Passo 7
Para encontrar
, vamos integrar cada componente de
em relação à sua variável correspondente, tomando cuidado para que as integrais sejam consistentes.
Começamos integrando
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que pode depender de
e
.
Passo 8
Agora, vamos usar
para encontrar
. Sabemos que:
Integrando em relação a
:
Onde
é outra função de integração, agora apenas de
.
Passo 9
Finalmente, usamos
para encontrar
. Temos:
Comparando os termos, percebemos que
, então:
Onde
é a constante de integração, que podemos assumir como zero para simplificar.
Passo 10
Agora, juntando tudo, a função potencial
é:
Resposta
As constantes são
,
e
. A função potencial associada ao campo de força é