Um objeto de peso(W) é atirado verticalmente para cima, com uma velocidade em módulo v0. Supondo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade instantânea e que a constante de proporcionalidade seja kappa, encontre: (a) A Altura máxima e (b) o tempo para atingir a altura máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um objeto que é lançado para cima com uma certa velocidade inicial . A gente sabe que o peso do objeto é e que a resistência do ar é proporcional à velocidade, com uma constante de proporcionalidade . O que a gente precisa encontrar é: (a) a altura máxima que o objeto atinge e (b) o tempo que ele leva para chegar nessa altura máxima. Para resolver, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de resolver algumas equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as forças que atuam no objeto quando ele está subindo. Temos duas forças principais:
  1. Peso ( F = -W - R = -m cdot g - kappa cdot v ): Age para baixo e é igual a m cdot dvdt = -m cdot g - kappa cdot v , onde dvdt + kappam cdot v = -g é a massa do objeto e é a aceleração da gravidade.
  2. Resistência do ar ( ): Como a resistência é proporcional à velocidade, temos , e ela também age para baixo, já que está contrária ao movimento.
A força resultante ( ) que age no objeto é, portanto:
Pela segunda lei de Newton, sabemos que , onde é a aceleração. Então:
Simplificando, temos a equação diferencial:

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a velocidade mu(t) = e^integral kappam dt = e^kappam t em função do tempo. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos usar o fator integrante para resolver.
O fator integrante é:
e^kappam t cdot dvdt + kappam e^kappam t cdot v = -g e^kappam t
Multiplicando toda a equação por ddt ( e^kappam t cdot v ) = -g e^kappam t :
e^kappam t cdot v = -m gkappa e^kappam t + C
Isso simplifica para:
v(t) = -m gkappa + C e^-kappam t
Integrando ambos os lados:
v0 = -m gkappa + C
Onde v(t) = ( v0 + m gkappa ) e^-kappam t - m gkappa é a constante de integração. Isolando :
Usando a condição inicial :
Então, .
Portanto, a expressão da velocidade em função do tempo é:

Passo 4

Para encontrar o tempo para atingir a altura máxima ( 0 = ( v0 + m gkappa ) e^-kappam tmax - m gkappa ), precisamos saber quando a velocidade ( v0 + m gkappa ) e^-kappam tmax = m gkappa será zero (já que no ponto mais alto o objeto para momentaneamente antes de começar a cair).
Então, igualamos e^-kappam tmax = m gkappav0 + m gkappa = m gkappa v0 + m g a zero:
-kappam tmax = ln( m gkappa v0 + m g )
Isolando o termo exponencial:
tmax = mkappa ln( 1 + kappa v0m g )
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :

Passo 5

Agora, para encontrar a altura máxima ( hmax = integral0^tmax v(t) , dt ), vamos integrar a velocidade hmax = integral0^tmax ( ( v0 + m gkappa ) e^-kappam t - m gkappa ) dt em relação ao tempo até hmax = ( v0 + m gkappa ) ( -mkappa e^-kappam t ) g|0^tmax - m gkappa tmax :
hmax = mkappa ( v0 + m gkappa ) ( 1 - e^-kappam tmax ) - m gkappa tmax
Usando a expressão de hmax = mkappa ( v0 + m gkappa ) ( 1 - m gkappa v0 + m g ) - m gkappa cdot mkappa ln( 1 + kappa v0m g ) que encontramos:
hmax = m v0kappa + m^2 gkappa^2 - m^2 gkappa^2 ln( 1 + kappa v0m g )
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites de integração e simplificando:
Substituindo pela expressão que encontramos anteriormente:
Simplificando ainda mais:

Resposta

(a) A altura máxima atingida pelo objeto é:
hmax = m v0kappa + m^2 gkappa^2 - m^2 gkappa^2 ln( 1 + kappa v0m g )
(b) O tempo para o objeto atingir a altura máxima é:
tmax = mkappa ln( 1 + kappa v0m g )

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