Um objeto de peso(W) é atirado verticalmente para cima, com uma velocidade em módulo . Supondo que a resistência do ar seja proporcional à velocidade instantânea e que a constante de proporcionalidade seja , encontre: (a) A Altura máxima e (b) o tempo para atingir a altura máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema fala sobre um objeto que é lançado para cima com uma certa velocidade inicial . A gente sabe que o peso do objeto é e que a resistência do ar é proporcional à velocidade, com uma constante de proporcionalidade . O que a gente precisa encontrar é: (a) a altura máxima que o objeto atinge e (b) o tempo que ele leva para chegar nessa altura máxima. Para resolver, vamos usar conceitos de cinemática e dinâmica, além de resolver algumas equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as forças que atuam no objeto quando ele está subindo. Temos duas forças principais:
Peso (): Age para baixo e é igual a , onde é a massa do objeto e é a aceleração da gravidade.
Resistência do ar (): Como a resistência é proporcional à velocidade, temos , e ela também age para baixo, já que está contrária ao movimento.
A força resultante () que age no objeto é, portanto:
Pela segunda lei de Newton, sabemos que , onde é a aceleração. Então:
Simplificando, temos a equação diferencial:
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial para encontrar a velocidade em função do tempo. Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, e podemos usar o fator integrante para resolver.
O fator integrante é:
Multiplicando toda a equação por :
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração. Isolando :
Usando a condição inicial :
Então, .
Portanto, a expressão da velocidade em função do tempo é:
Passo 4
Para encontrar o tempo para atingir a altura máxima (), precisamos saber quando a velocidade será zero (já que no ponto mais alto o objeto para momentaneamente antes de começar a cair).
Então, igualamos a zero:
Isolando o termo exponencial:
Dividindo ambos os lados por :
Aplicando o logaritmo natural:
Resolvendo para :
Passo 5
Agora, para encontrar a altura máxima (), vamos integrar a velocidade em relação ao tempo até :
Usando a expressão de que encontramos:
Integrando termo a termo:
Substituindo os limites de integração e simplificando:
Substituindo pela expressão que encontramos anteriormente:
Simplificando ainda mais:
Resposta
(a) A altura máxima atingida pelo objeto é:
(b) O tempo para o objeto atingir a altura máxima é: