Uma partícula de massa
se move num poço de potencial,
onde
é a distância entre a partícula e o centro de forças e
e
são constantes positivas. Considere apenas
(a) Qual a força que age sobre a partícula? (b) Encontre os pontos de equilíbrio e classifique-os em estável ou instável.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa
que se move num poço de potencial dado por
onde
e
são constantes positivas. Precisamos:
(a) Encontrar a força que age sobre a partícula.
(b) Encontrar os pontos de equilíbrio e dizer se são estáveis ou instáveis.
Vamos lá!
Passo 2
Parte (a): Encontrar a força
que age sobre a partícula.
Primeiro, lembremos que a força está relacionada ao potencial por meio da derivada negativa:
Vamos derivar
em relação a
:
Derivando termo a termo:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Então,
Agora, aplicando a relação para a força:
Então, a força que age sobre a partícula é:
Passo 3
Parte (b): Encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los.
Ponto de equilíbrio ocorre quando a força é zero:
Vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Isolando
:
Agora, para classificar a estabilidade, olhamos para a segunda derivada do potencial:
Avaliar em
:
Simplificando:
Como a segunda derivada é positiva, o ponto de equilíbrio é estável.
Resposta
(a) A força que age sobre a partícula é
(b) O ponto de equilíbrio ocorre em
e esse ponto é estável.