Uma partícula de massa m se move num poço de potencial,
U(x)=aln(x)+bx^2
onde x é a distância entre a partícula e o centro de forças e a e b são constantes positivas. Considere apenas x>0 (a) Qual a força que age sobre a partícula? (b) Encontre os pontos de equilíbrio e classifique-os em estável ou instável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa U(x) = a ln(x) + bx^2 que se move num poço de potencial dado por
onde e são constantes positivas. Precisamos:
(a) Encontrar a força que age sobre a partícula.
(b) Encontrar os pontos de equilíbrio e dizer se são estáveis ou instáveis.
Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a força F(x) = -dUdx que age sobre a partícula.
Primeiro, lembremos que a força está relacionada ao potencial por meio da derivada negativa:
U(x) = a ln(x) + bx^2
Vamos derivar dUdx = ax - 2bx^3 em relação a F(x) = -( ax - 2bx^3 ) = -ax + 2bx^3 :
F(x) = 2bx^3 - ax
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de é .
Então,
Agora, aplicando a relação para a força:
Então, a força que age sobre a partícula é:

Passo 3

Parte (b): Encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los.
Ponto de equilíbrio ocorre quando a força é zero:
F(x) = 0 Rightarrow 2bx^3 - ax = 0
Vamos resolver para 2bx^3 = ax :
2b = a x^2
Multiplicando ambos os lados por x^2 = 2ba :
x = raiz2ba
Isolando d^2Udx^2 = -ax^2 + 6bx^4 :
d^2Udx^2 = -a( raiz2ba )^2 + 6b( raiz2ba )^4
d^2Udx^2 = -a2ba + 6b( 2ba )^2
Agora, para classificar a estabilidade, olhamos para a segunda derivada do potencial:
d^2Udx^2 = -a^22b + 6b a^24b^2
Avaliar em d^2Udx^2 = -a^22b + 3a^22b :
d^2Udx^2 = 2a^22b = a^2b > 0
Simplificando:
Como a segunda derivada é positiva, o ponto de equilíbrio é estável.

Resposta

(a) A força que age sobre a partícula é
F(x) = 2bx^3 - ax
(b) O ponto de equilíbrio ocorre em
x = raiz2ba
e esse ponto é estável.

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