Uma partícula de massa se move num poço de potencial,
onde é a distância entre a partícula e o centro de forças e e são constantes positivas. Considere apenas (a) Qual a força que age sobre a partícula? (b) Encontre os pontos de equilíbrio e classifique-os em estável ou instável.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula de massa que se move num poço de potencial dado por
onde e são constantes positivas. Precisamos:
(a) Encontrar a força que age sobre a partícula.
(b) Encontrar os pontos de equilíbrio e dizer se são estáveis ou instáveis.
Vamos lá!

Passo 2

Parte (a): Encontrar a força que age sobre a partícula.
Primeiro, lembremos que a força está relacionada ao potencial por meio da derivada negativa:
Vamos derivar em relação a :
Derivando termo a termo:
  1. Derivada de é .
  2. Derivada de é .
Então,
Agora, aplicando a relação para a força:
Então, a força que age sobre a partícula é:

Passo 3

Parte (b): Encontrar os pontos de equilíbrio e classificá-los.
Ponto de equilíbrio ocorre quando a força é zero:
Vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
Isolando :
Agora, para classificar a estabilidade, olhamos para a segunda derivada do potencial:
Avaliar em :
Simplificando:
Como a segunda derivada é positiva, o ponto de equilíbrio é estável.

Resposta

(a) A força que age sobre a partícula é
(b) O ponto de equilíbrio ocorre em
e esse ponto é estável.

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