A interação entre dois átomos de massas m1 e m2, que formam uma molécula, pode ser descrita pelo potencial de Lennard-Jones, dado por:
V(x)=A[(bx)^12-2(bx)^6]
onde A e b são parâmetros positivos e x a distância interatômica. Trate o problema classicamente e despreze qualquer tipo de rotação da molécula. (a)Determine a posição de equilíbrio em função de A e b; (b) Calcule a energia mínima para dissociar a molécula; © O equilíbrio é estável ou instável?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos dois átomos com massas V(x) = A[(bx)^12 - 2(bx)^6] e que formam uma molécula, e a interação entre eles é descrita pelo potencial de Lennard-Jones:
Aqui, e são parâmetros positivos, e é a distância entre os átomos. Vamos tratar o problema de forma clássica, ou seja, sem considerar a rotação da molécula.
Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a posição de equilíbrio em função de e .
b) Calcular a energia mínima para dissociar a molécula.
c) Determinar se o equilíbrio é estável ou instável.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, para encontrar os pontos de equilíbrio e analisar a estabilidade.

Passo 2

Parte (a): Determinar a posição de equilíbrio em função de F(x) = -dVdx e dVdx = 0 .
A posição de equilíbrio ocorre onde a força entre os átomos é zero. A força é a derivada do potencial em relação à distância:
V(x) = A[(bx)^12 - 2(bx)^6]
Então, para encontrar a posição de equilíbrio dVdx = A[ -12(bx)^12 cdot 1x + 12(bx)^6 cdot 1x ] , precisamos resolver:
dVdx = 12Ax[ (bx)^6 - (bx)^12 ]
Vamos calcular a derivada de 12Ax[ (bx)^6 - (bx)^12 ] = 0 :
(bx)^6 - (bx)^12 = 0
Derivando em relação a (bx)^6 (1 - (bx)^6) = 0 :
(bx)^6 = 1 implies bx = 1 implies x = b
Simplificando:
xe = b
Igualando a zero:
Como e são positivos, a equação se anula quando:
Factorizando:
Isso nos dá duas soluções:
  1. (não é relevante para o equilíbrio)
Resolvendo para :
Então, a posição de equilíbrio é:

Passo 3

Parte (b): Calcular a energia mínima para dissociar a molécula.
A energia mínima para dissociar a molécula é a energia necessária para quebrar a ligação entre os átomos, ou seja, a energia de potencial no ponto de equilíbrio xe = b implies V(b) = A[(bb)^12 - 2(bb)^6] = A[1 - 2] = -A .
Vamos calcular Edissoc = |V(b)| = A :
A energia de dissociação é o valor absoluto dessa energia:
Então, a energia mínima para dissociar a molécula é igual a .

Passo 4

Parte ©: O equilíbrio é estável ou instável?
Para determinar a estabilidade do equilíbrio, analisamos a segunda derivada do potencial dVdx = 12Ax[ (bx)^6 - (bx)^12 ] no ponto de equilíbrio d^2Vdx^2 = ddx ( 12Ax[ (bx)^6 - (bx)^12 ] ) .
Se a segunda derivada for positiva ( d^2Vdx^2 = 12A ddx ( 1x [ (bx)^6 - (bx)^12 ] ) ), o equilíbrio é estável (mínimo local). Se for negativa, é instável (máximo local).
Vamos calcular a segunda derivada de d^2Vdx^2 = 12A [ -1x^2(bx)^6 + 6x^2(bx)^6 - 12x^2(bx)^12 ] :
(bx)^6 = 1 implies (bb)^6 = 1
Derivando novamente:
d^2Vdx^2g|x=b = 12A [ -1b^2 + 6b^2 - 12b^2 ] = 12A ( -7b^2 ) = -84Ab^2
Vamos simplificar a expressão:
d^2Vdx^2g|x=b < 0
Calculando a derivada:
Simplificando no ponto de equilíbrio :
Substituindo:
Como e são positivos, no ponto de equilíbrio é negativa:
Isso indica que o ponto de equilíbrio é um máximo local, ou seja, é instável.

Resposta

a) A posição de equilíbrio é .
b) A energia mínima para dissociar a molécula é .
c) O equilíbrio é instável.

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