A interação entre dois átomos de massas e , que formam uma molécula, pode ser descrita pelo potencial de Lennard-Jones, dado por:
onde e são parâmetros positivos e a distância interatômica. Trate o problema classicamente e despreze qualquer tipo de rotação da molécula. (a)Determine a posição de equilíbrio em função de e ; (b) Calcule a energia mínima para dissociar a molécula; © O equilíbrio é estável ou instável?

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está nos pedindo e identificar o conteúdo que vamos utilizar. Temos dois átomos com massas e que formam uma molécula, e a interação entre eles é descrita pelo potencial de Lennard-Jones:
Aqui, e são parâmetros positivos, e é a distância entre os átomos. Vamos tratar o problema de forma clássica, ou seja, sem considerar a rotação da molécula.
Precisamos resolver três partes:
a) Encontrar a posição de equilíbrio em função de e .
b) Calcular a energia mínima para dissociar a molécula.
c) Determinar se o equilíbrio é estável ou instável.
Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especialmente derivadas, para encontrar os pontos de equilíbrio e analisar a estabilidade.

Passo 2

Parte (a): Determinar a posição de equilíbrio em função de e .
A posição de equilíbrio ocorre onde a força entre os átomos é zero. A força é a derivada do potencial em relação à distância:
Então, para encontrar a posição de equilíbrio , precisamos resolver:
Vamos calcular a derivada de :
Derivando em relação a :
Simplificando:
Igualando a zero:
Como e são positivos, a equação se anula quando:
Factorizando:
Isso nos dá duas soluções:
  1. (não é relevante para o equilíbrio)
Resolvendo para :
Então, a posição de equilíbrio é:

Passo 3

Parte (b): Calcular a energia mínima para dissociar a molécula.
A energia mínima para dissociar a molécula é a energia necessária para quebrar a ligação entre os átomos, ou seja, a energia de potencial no ponto de equilíbrio .
Vamos calcular :
A energia de dissociação é o valor absoluto dessa energia:
Então, a energia mínima para dissociar a molécula é igual a .

Passo 4

Parte ©: O equilíbrio é estável ou instável?
Para determinar a estabilidade do equilíbrio, analisamos a segunda derivada do potencial no ponto de equilíbrio .
Se a segunda derivada for positiva ( ), o equilíbrio é estável (mínimo local). Se for negativa, é instável (máximo local).
Vamos calcular a segunda derivada de :
Derivando novamente:
Vamos simplificar a expressão:
Calculando a derivada:
Simplificando no ponto de equilíbrio :
Substituindo:
Como e são positivos, no ponto de equilíbrio é negativa:
Isso indica que o ponto de equilíbrio é um máximo local, ou seja, é instável.

Resposta

a) A posição de equilíbrio é .
b) A energia mínima para dissociar a molécula é .
c) O equilíbrio é instável.

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The Text REtrieval Conference (TREC) workshop series encourages research in information retrieval from large text applications by providing a large test collection, uniform scoring procedures and a forum for organizations interested in comparing their results. Now in its seventh year, the conference has become the major experimental effort in the field. Participants in the TREC conferences have examined a wide variety of retrieval techniques, including methods using automatic thesauri, sophisticated term weighting, natural language techniques, relevance feedback and advanced pattern matching. The TREC conference series is co-sponsored by the National Institute of Standards and Technology (NIST) and the Information Technology Office of the Defense Advanced Research Projects Agency (DARPA). In early 1992, the 25 adventurous research groups participating in TREC-1 undertook to scale their prototype retrieval systems from searching two megabytes of text to searching two gigabytes of text. Large disk drives were scarce in 1992, typical research computers were much slower then and most groups made Herculean efforts to finish the task. The conference itself was enlivened by people telling all the stories that happened along the way. But a truly momentous event had occurred: it had been shown that the statistical methods used by these various groups were capable of handling operational amounts of text and that research on these large test collections could lead to new insights in text retrieval. Since then there have been five more TREC conferences, co-sponsored by NIST and DARPA, with the latest one (TREC-6) taking place in November of 1997. The number of participating systems has grown from 25 in TREC-1 to 51 in TREC-6, including participants from 12 different countries, 21 companies and most of the universities doing research in text retrieval. The diversity of the participating groups has ensured that TREC represents many different approaches to text retrieval, while the emphasis on individual experiments evaluated in a common setting has proven to be a major strength of TREC. All of the TREC conferences have centered around two main tasks based on traditional information retrieval modes: a or 92 of these found relevant. Starting in TREC-4. secondary tasks (tracks) have been added to TREC. These tasks have been either related to the main tasks or provide a more focused implementation of those tasks. Eight tracks were run inTREC-6: Chinese - an ad hoc task with topics and documents in Chinese. Cross-Language - an ad hoc task in which some documents were in English, some in German and others in French. Each topic was in all three languages, and the focus of the track was to retrieve documents that pertain to the topic regardless of language. Filtering - a task similar to the routing task but one in which the systems made a binary decision as to whether the current document should be retrieved (as opposed to forming a ranked list). High Precision User Track - an ad hoc task in which participants were given five minutes per topic to produce a retrieved set using any means desired (e.g., through user interaction, completely automatically). Interactive - a task used to study user interaction with text retrieval systems. In TREC-6 this track examined ways of statistically comparing systems running
Uma taça em repouso na origem de um sistema de coordenadas explode em três pedaços. Logo depois da explosão, um dos pedaços, de massa , está se movendo com velocidade e um segundo pedaço, também de massa , está se movendo com velocidade . Determine a orientação da velocidade do terceiro pedaço logo após a explosão.