Encontre as constantes de normalização para as seguintes funções de onda no intervalo indicado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as constantes de normalização para a função de onda
no intervalo de
a
. Vamos usar conceitos de normalização de funções de onda da mecânica quântica e integrar a função ao quadrado para garantir que a probabilidade total seja 1. Precisamos calcular a constante
que satisfaz essa condição.
Passo 2
Primeiro, lembrando o que é normalizar uma função de onda: queremos que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço (neste caso, intervalo de
a
) seja igual a 1. Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo considerado seja 100%.
Então, começamos escrevendo a condição de normalização:
Substituindo
:
Como
é uma constante, podemos tirá-lo para fora da integral:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral
. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
Substituindo na integral:
Podemos dividir a integral em duas partes:
Passo 4
Vamos calcular cada integral separadamente:
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Porque
.
Passo 5
Substituindo os resultados das integrais na equação:
Simplificando:
Passo 6
Agora, isolamos
:
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar
:
Resposta
A constante de normalização é
.