Encontre as constantes de normalização para as seguintes funções de onda no intervalo indicado: psi(x)=A cos x ; -pi <= x <= pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar as constantes de normalização para a função de onda psi(x) = A cos x no intervalo de -pi a pi. Vamos usar conceitos de normalização de funções de onda da mecânica quântica e integrar a função ao quadrado para garantir que a probabilidade total seja 1. Precisamos calcular a constante A que satisfaz essa condição.

Passo 2

Primeiro, lembrando o que é normalizar uma função de onda: queremos que a integral do quadrado da função de onda sobre todo o espaço (neste caso, intervalo de -pi a pi) seja igual a 1. Isso garante que a probabilidade total de encontrar a partícula no intervalo considerado seja 100%.
Então, começamos escrevendo a condição de normalização:
integral-pi^pi |psi(x)|^2 , dx = 1
Substituindo psi(x):
integral-pi^pi |A cos x|^2 , dx = 1
Como A é uma constante, podemos tirá-lo para fora da integral:
A^2 integral-pi^pi cos^2 x , dx = 1

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral cos^2 x , dx. Para isso, usamos uma identidade trigonométrica que facilita a integração:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Substituindo na integral:
A^2 integral-pi^pi 1 + cos 2x2 , dx = 1
Podemos dividir a integral em duas partes:
A^2 ( 12 integral-pi^pi 1 , dx + 12 integral-pi^pi cos 2x , dx ) = 1

Passo 4

Vamos calcular cada integral separadamente:
  1. Primeira integral:
integral-pi^pi 1 , dx = [x]-pi^pi = pi - (-pi) = 2pi
  1. Segunda integral:
integral-pi^pi cos 2x , dx = [ sin 2x2 ]-pi^pi = sin 2pi - sin (-2pi)2 = 0
Porque sin 2pi = sin(-2pi) = 0.

Passo 5

Substituindo os resultados das integrais na equação:
A^2 ( 12 times 2pi + 12 times 0 ) = 1
Simplificando:
A^2 pi = 1

Passo 6

Agora, isolamos A^2:
A^2 = 1pi
E, finalmente, tiramos a raiz quadrada para encontrar A:
A = 1raizpi

Resposta

A constante de normalização é A = dfrac1raizpi.

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