disco de peso
e está sujeito a uma força vertical
e momento binário M . Determine a rotação do disco
se a mola está presa ao disco e relaxada para (
, sendo:
,
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um disco que pesa $ W = 10 $ kg e está sendo puxado por uma força vertical $ \mathbf{P} = 8 $ N e um momento ($ M = 8 , N.m $). O disco está conectado a uma mola com constante elástica $ k = 12 , N/m $ e o ponto de ligação está a uma distância $ a = 1.5 $ m do centro do disco. A mola está relaxada quando a rotação $ \theta = 0 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a rotação $ \theta $ do disco quando todas essas forças e momentos agirem nele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de torques e a relação da mola com a rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais forças estão agindo no disco e como elas influenciam a rotação. Temos:
- Peso do disco ($ W $): age para baixo no centro do disco.
- Força vertical ($ P $): aplicada em uma posição que vai gerar um torque.
- Momento aplicado ($ M $): já é um torque atuando no disco.
- Mola: gera uma força restauradora que depende da rotação $ \theta $.
Como estamos procurando a rotação em equilíbrio, a soma dos torques que atuam no disco deve ser igual a zero.
Passo 3
Vamos calcular os torques produzidos por cada força. O torque ($ \tau $) é dado por:
Onde $ F $ é a força e $ r $ é a distância perpendicular da força ao eixo de rotação.
- Torque devido à força $ P $:
-
Torque devido ao momento $ M $: já está dado como $ 8 , N.m $.
-
Torque devido à mola: a mola exerce uma força proporcional à rotação $ \theta $. A força da mola é $ F_{mola} = k \times \theta $, e o torque será $ \tau_{mola} = F_{mola} \times a = k \times \theta \times a $.
Passo 4
Agora, aplicamos a condição de equilíbrio de torques. A soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário. Vamos considerar que todos os torques que causam a rotação para um lado são positivos e os que causam para o outro lado são negativos.
Substituindo os valores que calculamos:
Passo 5
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ \theta $:
Resposta
A rotação do disco $ \theta $ é aproximadamente $ 1.11 $ radianos.