O disco de peso W e está sujeito a uma força vertical P e momento binário M . Determine a rotação do disco theta se a mola está presa ao disco e relaxada para ( theta= 0), sendo: W=10 kg, P=8 N, M=8 N m, a=1.5 m e
k=12 N / m.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um disco que pesa $ W = 10 $ kg e está sendo puxado por uma força vertical $ \mathbf{P} = 8 $ N e um momento ($ M = 8 , N.m $). O disco está conectado a uma mola com constante elástica $ k = 12 , N/m $ e o ponto de ligação está a uma distância $ a = 1.5 $ m do centro do disco. A mola está relaxada quando a rotação $ \theta = 0 $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual será a rotação $ \theta $ do disco quando todas essas forças e momentos agirem nele. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equilíbrio de torques e a relação da mola com a rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais forças estão agindo no disco e como elas influenciam a rotação. Temos:
  1. Peso do disco ($ W $): age para baixo no centro do disco.
  2. Força vertical ($ P $): aplicada em uma posição que vai gerar um torque.
  3. Momento aplicado ($ M $): já é um torque atuando no disco.
  4. Mola: gera uma força restauradora que depende da rotação $ \theta $.
Como estamos procurando a rotação em equilíbrio, a soma dos torques que atuam no disco deve ser igual a zero.

Passo 3

Vamos calcular os torques produzidos por cada força. O torque ($ \tau $) é dado por:
tau
Onde $ F $ é a força e $ r $ é a distância perpendicular da força ao eixo de rotação.
  • Torque devido à força $ P $:
tau = F times r
  • Torque devido ao momento $ M $: já está dado como $ 8 , N.m $.
  • Torque devido à mola: a mola exerce uma força proporcional à rotação $ \theta $. A força da mola é $ F_{mola} = k \times \theta $, e o torque será $ \tau_{mola} = F_{mola} \times a = k \times \theta \times a $.
F

Passo 4

Agora, aplicamos a condição de equilíbrio de torques. A soma dos torques no sentido horário deve ser igual à soma dos torques no sentido anti-horário. Vamos considerar que todos os torques que causam a rotação para um lado são positivos e os que causam para o outro lado são negativos.
tauP + tauM - taumola = 0
Substituindo os valores que calculamos:
12 , Nm + 8 , Nm - 18 , Nm/rad times theta = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ \theta $:
theta

Resposta

A rotação do disco $ \theta $ é aproximadamente $ 1.11 $ radianos.

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