Calcule a derivada segunda.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar a derivada segunda dela. Isso tá dentro do assunto de Cálculo Diferencial, mais especificamente sobre derivadas de funções que envolvem produtos. Vamos precisar usar a Regra do Produto e saber como derivar a função logarítmica
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a primeira derivada
. Como a função é um produto de
e
, usamos a Regra do Produto, que diz que
. Aqui,
e
.
Passo 3
Calculando as derivadas individuais:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Então, substituindo na Regra do Produto:
Passo 4
Agora, vamos para a derivada segunda
. Precisamos derivar
. A derivada de uma soma é a soma das derivadas, então derivamos termo a termo.
Passo 5
Derivando cada termo:
- A derivada de
é . - A derivada de
é .
Portanto:
Resposta
A derivada segunda de
é
.
Exercícios relacionados
Encontre
por derivação ímplícita.
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por derivação ímplícita.
Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico.
Considere
, onde
é derivável. Calcule
sabendo que de/dt
e que
, isto é,
para
.