Encontre d/y d/x por derivação ímplícita. x^2 y^2 + x * sen(y) = 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , usando derivação implícita. O enunciado é . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivação implícita, que é útil quando não está isolada e depende de .

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que é uma função de , então sempre que derivarmos algo que envolve , teremos que usar a regra da cadeia.

Passo 3

Derivando o primeiro termo :
Usamos a regra do produto: , onde e .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é (usando a regra da cadeia).
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, derivamos o segundo termo :
Usamos novamente a regra do produto, onde e .
  • Derivada de é .
  • Derivada de é (usando a regra da cadeia).
Então, a derivada de é:

Passo 5

Derivando o lado direito da equação, que é 4:
A derivada de uma constante é 0.

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas:

Passo 7

Vamos isolar os termos que contêm para resolver para essa derivada.
Agrupando os termos:

Passo 8

Finalmente, isolamos dividindo ambos os lados pela expressão que está multiplicando a derivada:

Resposta

A derivada é:

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C
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