Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que estudar a concavidade e os pontos de inflexão da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente, análise de funções usando derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função, pois a segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade e localizar pontos de inflexão.
Passo 2
Vamos começar calculando a primeira derivada de
. Usamos a regra do quociente para derivar funções do tipo
, onde
e
.
A derivada de
é
e a derivada de
é
.
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada
para analisar a concavidade. Derivamos
.
Usando a regra do quociente novamente, onde agora
e
.
A derivada de
é
e a derivada de
é
.
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 4
Para determinar a concavidade, precisamos analisar o sinal de
:
A concavidade depende do sinal de
:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar onde
:
Esse é um ponto potencial de inflexão. Agora, vamos analisar os intervalos:
- Para
, por exemplo, :
- Para
, por exemplo, :
Passo 5
Como a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima em
, esse ponto é um ponto de inflexão.
Agora, vamos resumir:
- Para
, é côncava para baixo. - Para
, é côncava para cima. - Em
, tem um ponto de inflexão.
Resposta
A função
é côncava para baixo em
, côncava para cima em
e possui um ponto de inflexão em
. O gráfico da função reflete essas características de concavidade e o ponto de inflexão identificado.
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por derivação ímplícita.
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, onde
é derivável. Calcule
sabendo que de/dt
e que
, isto é,
para
.
Esboce o gráfico de