Estude a função dada com relação à concavidade e pontos de inflexão. Além disso, esboce o gráfico. f(x) = ln(x) / x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que estudar a concavidade e os pontos de inflexão da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo, mais especificamente, análise de funções usando derivadas. Para resolver, vamos precisar calcular a primeira e a segunda derivada da função, pois a segunda derivada nos ajuda a determinar a concavidade e localizar pontos de inflexão.

Passo 2

Vamos começar calculando a primeira derivada de . Usamos a regra do quociente para derivar funções do tipo , onde e .
A derivada de é e a derivada de é .
Aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada para analisar a concavidade. Derivamos .
Usando a regra do quociente novamente, onde agora e .
A derivada de é e a derivada de é .
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 4

Para determinar a concavidade, precisamos analisar o sinal de :
A concavidade depende do sinal de :
  • Se , a função é côncava para cima.
  • Se , a função é côncava para baixo.
Vamos encontrar onde :
Esse é um ponto potencial de inflexão. Agora, vamos analisar os intervalos:
  • Para , por exemplo, :
ô
  • Para , por exemplo, :
ô

Passo 5

Como a concavidade muda de côncava para baixo para côncava para cima em , esse ponto é um ponto de inflexão.
Agora, vamos resumir:
  • Para , é côncava para baixo.
  • Para , é côncava para cima.
  • Em , tem um ponto de inflexão.

Resposta

A função é côncava para baixo em , côncava para cima em e possui um ponto de inflexão em . O gráfico da função reflete essas características de concavidade e o ponto de inflexão identificado.

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