Encontre d/y d/x derivando implicitamente e^(x / y) = x - y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da equação usando derivação implícita. Isso significa que é uma função de , mas não está isolada. Vamos precisar usar regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que quando derivamos termos que envolvem , precisamos multiplicar pela por causa da regra da cadeia.
Derivando o lado esquerdo:
Aqui, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , onde .

Passo 3

Vamos calcular onde :
Então, a derivada do lado esquerdo fica:

Passo 4

Agora, derivamos o lado direito da equação em relação a :

Passo 5

Agora, igualamos as derivadas dos dois lados:
Nosso objetivo é isolar . Vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Distribuindo o e o :
Vamos reunir os termos com de um lado:
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Resposta

A derivada é:

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