Encontre a derivada da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de encontrar a derivada da função
. Estamos lidando com derivadas, que fazem parte do cálculo diferencial. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que compõem a função composta. Aqui, temos
onde
. A função logarítmica natural
e a função seno
estão dentro uma da outra.
Passo 3
Agora, aplicamos a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de uma função composta
em relação a
é a derivada de
em relação a
vezes a derivada de
em relação a
. Matematicamente, isso fica assim:
Passo 4
Vamos calcular cada parte separadamente. A derivada de
em relação a
é
:
E a derivada de
em relação a
é
:
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
Lembrando que
, ficamos com:
Passo 6
Reconhecendo que
é a definição de cotangente, podemos simplificar ainda mais:
Resposta
A derivada da função
é:
Exercícios relacionados
Encontre
derivando implicitamente
.
Encontre a derivada de
.
Defina o número de Euler, (e), de duas maneiras diferentes. Mostre que essas duas definições são equivalentes.
Derive:
.