Encontre a derivada de y = sen²(e^(sen²(x))).

Passo 1

Então, a gente tem que encontrar a derivada da função . Isso está dentro da matéria de cálculo, especificamente sobre derivadas e a regra da cadeia. Vamos precisar aplicar essa regra para lidar com as funções compostas que aparecem na expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes camadas da função para aplicar a regra da cadeia. A função pode ser vista como uma composição de várias funções:
  1. Função externa: , onde .
  2. Função intermediária: , onde .
  3. Função mais interna: .

Passo 3

Vamos começar derivando a função externa em relação a :
Isso usa a regra da cadeia para derivar funções compostas, onde a derivada de é .

Passo 4

Agora, derivamos a função intermediária em relação a :
Isso é direto, já que a derivada de em relação a é ele mesmo.

Passo 5

Em seguida, derivamos a função mais interna em relação a :
Aqui, aplicamos novamente a regra da cadeia para derivar .

Passo 6

Agora, aplicamos a regra da cadeia completa multiplicando as derivadas obtidas em cada passo:

Passo 7

Substituímos de volta as expressões de e para obter a derivada final:
Podemos simplificar multiplicando os coeficientes:

Resposta

A derivada de é:

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