Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor unitário que forma ängulo
com o eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo juntos! A gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção de um vetor unitário que faz um ângulo de
com o eixo
. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a derivada direcional. Ela nos diz como a função muda quando a gente se move em uma direção específica a partir de um ponto dado. Para calcular isso, usamos o gradiente da função, que é um vetor formado pelas derivadas parciais em relação a
e
.
Passo 3
Vamos encontrar as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
: - Derivada parcial em relação a
:
O gradiente da função é então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o gradiente no ponto
:
- Substituindo
e :
Então, o gradiente no ponto
é:
Passo 5
Agora, precisamos do vetor unitário na direção do ângulo de
com o eixo
. Um vetor na direção desse ângulo é
. Como
, temos:
Então, o vetor unitário
é:
Passo 6
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é
.
Exercícios relacionados
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
j) ;
j)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
g) ;
g)
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
e) ;
e)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2,5).