Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção de P a Q(2,5).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do ponto .
Conteúdo da matéria: Derivadas direcionais são usadas para determinar a taxa de variação de uma função em uma direção específica a partir de um ponto dado.
O que vamos precisar para resolver:
  1. Vetor direção da direção de P para Q.
  2. Vetor unitário na direção de P para Q.
  3. Gradiente da função .
  4. Fórmula da derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor direção de para . Para isso, subtraímos as coordenadas de P das coordenadas de Q:

Passo 3

Agora, precisamos transformar esse vetor direção em um vetor unitário. Isso é importante porque a derivada direcional utiliza um vetor com magnitude 1 para indicar apenas a direção.
A fórmula para o vetor unitário é:
Primeiro, calculamos a norma de :
Então, o vetor unitário é:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e :
Primeiro, encontramos :
Agora, :
Usamos a regra do produto:
Portanto, o gradiente é:

Passo 5

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :
Primeiro, calculamos :
Então,
Portanto,

Passo 6

Finalmente, utilizamos a fórmula da derivada direcional:
Realizamos o produto escalar:
Simplificando:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de P a Q(2, 5) é:

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