Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
g)
;
g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para verificar se a função
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO)
. Aqui,
e
são constantes reais. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas de
e substituir na EDO para ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a primeira derivada de
. Lembre-se que a derivada de
é
, e usamos a regra do produto para
.
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. Aplicamos a derivada novamente em
:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituí-los na EDO
:
Passo 5
Vamos simplificar cada parte:
Primeiro, distribui o -10:
Agora, distribui o 25:
Passo 6
Juntando tudo:
Agora, vamos combinar termos semelhantes:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 7
Somando tudo:
Isso significa que, após substituir
e suas derivadas na EDO, a igualdade é satisfeita para quaisquer valores de
e
.
Resposta
A função
é uma solução geral da EDO
porque, ao substituir na equação, todas as termos se cancelam, resultando em
.
Exercícios relacionados
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
q) ;
q)
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
m) ;
m)
Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
j) ;
j)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor unitário que forma ängulo
com o eixo
.