Verificar se as funções dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde são constantes arbitrárias. Concluir se a função é ou não solução da EDO e porque:
j) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é uma solução geral da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . A matéria envolvida aqui é a resolução de EDOs de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar calcular as derivadas primeira e segunda da função e substituir na EDO para ver se a igualdade se mantém.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada de . Lembrando que a derivada de é e a derivada de é 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . Usando a mesma regra de derivação:

Passo 4

Com , e a EDO , vamos substituir e na equação:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Note que os termos com e se cancelam:

Passo 6

A igualdade é verdadeira para todo , o que significa que a função satisfaz a EDO dada.

Resposta

Sim, a função é uma solução geral da EDO porque, ao substituir na equação, a igualdade se mantém para quaisquer constantes e .

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g) ;
Obter as soluções gerais das EDO de ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
q) ;
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor unitário que forma ängulo com o eixo .
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
e) ;