Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
j) ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a relação é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) . Basicamente, precisamos ver se, ao derivar essa relação, obtemos a mesma expressão para que está na EDO. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar a relação dada de . Como é uma constante, ao derivarmos ambos os lados em relação a , a derivada de é zero.

Passo 3

Vamos derivar o lado esquerdo usando a regra do quociente. Se tivermos uma função , sua derivada é . Aqui, e .

Passo 4

Primeiro, derivamos :
Explicando: usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é .

Passo 5

Agora, derivamos :
Simples, a derivada de é 1, e a de é .

Passo 6

Aplicando a regra do quociente:
Então:

Passo 7

Vamos resolver essa equação para . Primeiro, expandimos os termos:

Passo 8

Agrupando os termos com :

Passo 9

Isolando :

Passo 10

Simplificando essa expressão (fazendo algumas fatorações e cancelamentos), acabamos chegando em:
Que é exatamente a EDO dada no exercício.

Resposta

Sim, a relação é uma solução geral da EDO , pois ao derivar a relação e simplificar, obtemos exatamente a expressão da EDO.

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e) ;
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