Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
j)
;
j)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se a relação
é uma solução geral da equação diferencial ordinária (EDO)
. Basicamente, precisamos ver se, ao derivar essa relação, obtemos a mesma expressão para
que está na EDO. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita.
Passo 2
Primeiro, vamos chamar a relação dada de
. Como
é uma constante, ao derivarmos ambos os lados em relação a
, a derivada de
é zero.
Passo 3
Vamos derivar o lado esquerdo usando a regra do quociente. Se tivermos uma função
, sua derivada é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Primeiro, derivamos
:
Explicando: usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é
.
Passo 5
Agora, derivamos
:
Simples, a derivada de
é 1, e a de
é
.
Passo 6
Aplicando a regra do quociente:
Então:
Passo 7
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, expandimos os termos:
Passo 8
Agrupando os termos com
:
Passo 9
Isolando
:
Passo 10
Simplificando essa expressão (fazendo algumas fatorações e cancelamentos), acabamos chegando em:
Que é exatamente a EDO dada no exercício.
Resposta
Sim, a relação
é uma solução geral da EDO
, pois ao derivar a relação e simplificar, obtemos exatamente a expressão da EDO.
Exercícios relacionados
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2,5).
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
e) ;
e)
Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2, 5).