Suponha que a função
, em que
é medida em graus Celsius e x e y são medidos em metros, represente uma distribuição de temperatura no plano
. Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
que representa a distribuição de temperatura no plano
, onde
está em graus Celsius e
e
em metros. A pergunta é: Qual é a direção de maior crescimento da temperatura no ponto P?
Para resolver isso, vamos usar o conceito de gradiente da função, que nos indica a direção de maior aumento da função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é o gradiente. O gradiente de uma função de duas variáveis,
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento dessa função. Matematicamente, o gradiente é composto pelas derivadas parciais da função em relação a
e
:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Usando a regra da cadeia, temos:
Similarmente, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, o gradiente
é:
Esse vetor aponta na direção de maior crescimento da temperatura no ponto
.
Passo 5
Para entender a direção, podemos simplificar o gradiente dividindo pelos mesmos termos, o que nos dá:
A direção do vetor
indica que a direção de maior crescimento está na direção radial afastando ou aproximando-se da origem, dependendo do sinal. Como temos um fator negativo, a direção de maior aumento é na direção contrária ao vetor
.
Resposta
A direção de maior crescimento da temperatura no ponto
é na direção do vetor
, ou seja, oposta ao vetor posição
.
Exercícios relacionados
Verificar se as relações dadas são soluções gerais das respectivas EDO apresentadas, onde
é uma constante arbitrária. Concluir se a relação é ou não solução da EDO e porque:
j) ;
j)
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2,5).
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção de P a Q(2, 5).
Obter as soluções gerais das EDO de
ordem e proceder as verificações destas soluções justificando sua resposta:
e) ;
e)