Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Precisamos calcular o gradiente da função e o vetor direção normalizado para encontrar a derivada na direção desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas expressões das derivadas parciais:
Assim, o gradiente no ponto é:
Passo 4
O próximo passo é normalizar o vetor direção . Normalizar um vetor significa transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento 1) mantendo a mesma direção. A fórmula para normalizar é:
Onde é o comprimento do vetor, dado por:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:
Passo 5
Agora que temos o gradiente no ponto e o vetor direção unitário, podemos calcular a derivada direcional. A fórmula para a derivada direcional de na direção de é:
Isso representa o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.
Passo 6
Vamos calcular o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .