Encontre a derivada direcional de f(x, y) = e^(x * y) + 4 * y + 2 * x no ponto P(3,0) e na direção do vetor v = 3i - 4j.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos utilizar o conceito de derivada direcional, que faz parte do estudo de cálculo multivariável. Precisamos calcular o gradiente da função e o vetor direção normalizado para encontrar a derivada na direção desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja,
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto . Substituindo e nas expressões das derivadas parciais:
Assim, o gradiente no ponto é:

Passo 4

O próximo passo é normalizar o vetor direção . Normalizar um vetor significa transformá-lo em um vetor unitário (com comprimento 1) mantendo a mesma direção. A fórmula para normalizar é:
Onde é o comprimento do vetor, dado por:
Portanto, o vetor unitário na direção de é:

Passo 5

Agora que temos o gradiente no ponto e o vetor direção unitário, podemos calcular a derivada direcional. A fórmula para a derivada direcional de na direção de é:
Isso representa o produto escalar entre o gradiente e o vetor direção.

Passo 6

Vamos calcular o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

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