Encontre a derivada direcional de f(x, y) = 2xy + 4x^5 no ponto P(1,2) e na direção do vetor unitário que forma ângulo theta = 30 graus com o eixo x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção de um vetor unitário que forma um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Substituindo e em :
Substituindo em :

Passo 4

Em seguida, precisamos determinar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são dadas por:
Para :
Portanto:

Passo 5

A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :
Substituindo os valores encontrados:

Resposta

A derivada direcional é .

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