Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor unitário que forma ângulo com o eixo .
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção de um vetor unitário que forma um ângulo de com o eixo . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
A derivada parcial de em relação a é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto .
Substituindo e em :
Substituindo em :
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o vetor unitário na direção do ângulo . As componentes desse vetor são dadas por:
Para :
Portanto:
Passo 5
A derivada direcional é calculada pelo produto escalar do gradiente de no ponto com o vetor unitário :