Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor unitário que forma ângulo
com o eixo
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção de um vetor unitário que forma um ângulo de
com o eixo
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
A derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto
.
Substituindo
e
em
:
Substituindo
em
:
Passo 4
Em seguida, precisamos determinar o vetor unitário na direção do ângulo
. As componentes desse vetor são dadas por:
Para
:
Portanto:
Passo 5
A derivada direcional
é calculada pelo produto escalar do gradiente de
no ponto
com o vetor unitário
:
Substituindo os valores encontrados:
Resposta
A derivada direcional é
.