Ligando-se em paralelo $n$ resistências $R_{1}, R_{2}, \ldots, R_{n}$ a resistência total $R$ é dada por $$ \frac{1}{R}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{R_{i}} $$ Verifique que: $\sum_{i=1}^{n} \sqrt{\frac{\partial R}{\partial R_{i}}}=1$.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre resistências conectadas em paralelo e nos pede para verificar uma certa relação envolvendo derivadas parciais. Então, vamos precisar entender como calcular a resistência total em paralelo e usar derivadas para resolver essa verificação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a resistência total de resistências conectadas em paralelo. A fórmula é:
Isso significa que a inversa da resistência total é a soma das inversas de cada resistência individual.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, podemos expressar em termos de . A partir da fórmula, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a uma das resistências . Usando a regra da cadeia para derivadas:
Então, simplificando:

Passo 5

Precisamos agora calcular a soma das raízes quadradas dessas derivadas:

Resposta

Após simplificar, a soma das raízes quadradas das derivadas parciais é igual a 1:

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<html><head></head><body><div>Descreva explicitamente uma transformação linear <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: 0;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.593ex” height=“1.532ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -677 704 677”><title>T</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D447” d=“M40 437Q21 437 21 445Q21 450 37 501T71 602L88 651Q93 669 101 677H569H659Q691 677 697 676T704 667Q704 661 687 553T668 444Q668 437 649 437Q640 437 637 437T631 442L629 445Q629 451 635 490T641 551Q641 586 628 604T573 629Q568 630 515 631Q469 631 457 630T439 622Q438 621 368 343T298 60Q298 48 386 46Q418 46 427 45T436 36Q436 31 433 22Q429 4 424 1L422 0Q419 0 415 0Q410 0 363 1T228 2Q99 2 64 0H49Q43 6 43 9T45 27Q49 40 55 46H83H94Q174 46 189 55Q190 56 191 56Q196 59 201 76T241 233Q258 301 269 344Q339 619 339 625Q339 630 310 630H279Q212 630 191 624Q146 614 121 583T67 467Q60 445 57 441T43 437H40Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> de <span class="math-inline ">
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</body></html>
Seja . Sendo , calcule . Existe para algum ? Justifique.
<html><head></head><body><div>Encontre a derivada direcional da função dada, no ponto e direção <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.025ex;” xmlns=“
http://www.w3.org/2000/svg” width=“1.294ex” height=“1.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -442 572 453”><title>u</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D462” d=“M21 287Q21 295 30 318T55 370T99 420T158 442Q204 442 227 417T250 358Q250 340 216 246T182 105Q182 62 196 45T238 27T291 44T328 78L339 95Q341 99 377 247Q407 367 413 387T427 416Q444 431 463 431Q480 431 488 421T496 402L420 84Q419 79 419 68Q419 43 426 35T447 26Q469 29 482 57T512 145Q514 153 532 153Q551 153 551 144Q550 139 549 130T540 98T523 55T498 17T462 -8Q454 -10 438 -10Q372 -10 347 46Q345 45 336 36T318 21T296 6T267 -6T233 -11Q189 -11 155 7Q103 38 103 113Q103 170 138 262T173 379Q173 380 173 381Q173 390 173 393T169 400T158 404H154Q131 404 112 385T82 344T65 302T57 280Q55 278 41 278H27Q21 284 21 287Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> indicados. <span class=“math-inline “>
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.791ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“49.153ex” height=“2.713ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -849.5 21725.7 1199”><title>f(x, y, z) = ln(x^2 + y^2 + z^2), (x0, y0, z0) = (1, 3, 2)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 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