Seja
. Sendo
, calcule
. Existe
para algum
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos a função
e um vetor
. Precisamos calcular a derivada direcional de
na direção de
no ponto
. Além disso, devemos verificar se essa derivada direcional existe no ponto
para algum vetor
em
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradientes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor
é dada por:
onde
é o gradiente de
no ponto
e
é o vetor unitário na direção de
.
Passo 3
Vamos calcular o gradiente de
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Para
, temos:
Então,
Passo 4
Agora, vamos normalizar o vetor
para obter
. A normalização de
é feita dividindo cada componente de
pela sua norma:
Então,
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o gradiente de
no ponto
:
Passo 6
Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre
e
:
Passo 7
Agora, vamos analisar se
existe para algum
. No ponto
, a função
não é diferenciável porque o gradiente não está definido nesse ponto (ambas as derivadas parciais têm uma forma indeterminada
). Portanto, a derivada direcional não existe no ponto
para nenhum vetor
.
Resposta
A derivada direcional de
na direção de
no ponto
é
. Além disso, a derivada direcional
não existe para nenhum vetor
.