Seja f(x, y)=raizx^2+y^2. Sendo v=(1,0), calcule partial fpartial v(1,2). Existe partial fpartial v(0,0) para algum v in R^2 ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício pede. Temos a função e um vetor . Precisamos calcular a derivada direcional de na direção de no ponto . Além disso, devemos verificar se essa derivada direcional existe no ponto para algum vetor em . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente derivadas direcionais e gradientes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada direcional. A derivada direcional de uma função partial fpartial v(x, y) = nabla f(x, y) cdot v em um ponto na direção de um vetor é dada por:
onde é o gradiente de no ponto e é o vetor unitário na direção de .

Passo 3

Vamos calcular o gradiente de nabla f(x, y) = ( partial fpartial x, partial fpartial y ) . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de partial fpartial x = xraizx^2 + y^2 em relação a partial fpartial y = yraizx^2 + y^2 e abla f(x, y) = ( xraizx^2 + y^2, yraizx^2 + y^2 ) :
Para , temos:
Então,

Passo 4

Agora, vamos normalizar o vetor | v | = raiz1^2 + 0^2 = 1 para obter v = ( 11, 01 ) = (1, 0) . A normalização de é feita dividindo cada componente de pela sua norma:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular o gradiente de nabla f(1, 2) = ( 1raiz1^2 + 2^2, 2raiz1^2 + 2^2 ) = ( 1raiz5, 2raiz5 ) no ponto :

Passo 6

Finalmente, calculamos a derivada direcional usando o produto escalar entre partial fpartial v(1, 2) = nabla f(1, 2) cdot v = ( 1raiz5 times 1 ) + ( 2raiz5 times 0 ) = 1raiz5 e :

Passo 7

Agora, vamos analisar se existe para algum . No ponto , a função não é diferenciável porque o gradiente não está definido nesse ponto (ambas as derivadas parciais têm uma forma indeterminada ). Portanto, a derivada direcional não existe no ponto para nenhum vetor .

Resposta

A derivada direcional de na direção de no ponto é . Além disso, a derivada direcional não existe para nenhum vetor .

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