Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.

Passo 2

Primeiro, precisamos normalizar o vetor de direção . Isso significa transformar em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. A fórmula para a normalização é:
Onde é o módulo do vetor .

Passo 3

Vamos calcular o módulo de :

Passo 4

Agora, normalizamos :

Passo 5

Em seguida, precisamos encontrar o gradiente da função . O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a e :
Vamos calcular essas derivadas.

Passo 6

Calculando a derivada parcial de em relação a :
E a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente fica:

Passo 7

Agora, avaliamos o gradiente no ponto :

Passo 8

Finalmente, a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente no ponto e o vetor unitário :

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor é .

Exercícios relacionados

Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de .
a-
Encontre a derivada direcional de no ponto e na direção do vetor unitário que forma ângulo com o eixo .
Calcule as integrais usando integração por partes com a escolha de e indicada:
Exercício 1. Calcule para cada função abaixo:
c) Pontos)