Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Aqui, a gente precisa encontrar a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
. Para isso, vamos usar o conceito de derivada direcional, que nos mostra a taxa de variação da função em uma direção específica.
Passo 2
Primeiro, precisamos normalizar o vetor de direção
. Isso significa transformar
em um vetor unitário, ou seja, com comprimento igual a 1. A fórmula para a normalização é:
Onde
é o módulo do vetor
.
Passo 3
Vamos calcular o módulo de
:
Passo 4
Agora, normalizamos
:
Passo 5
Em seguida, precisamos encontrar o gradiente da função
. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais da função em relação a
e
:
Vamos calcular essas derivadas.
Passo 6
Calculando a derivada parcial de
em relação a
:
E a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente fica:
Passo 7
Agora, avaliamos o gradiente no ponto
:
Passo 8
Finalmente, a derivada direcional
é o produto escalar entre o gradiente no ponto
e o vetor unitário
:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
é
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral a seguir pela regra dos Trapézios e pela de Simpson, usando quatro divisões de
.
a-
a-
Encontre a derivada direcional de
no ponto
e na direção do vetor unitário que forma ângulo
com o eixo
.
Calcule as integrais usando integração por partes com a escolha de
e
indicada:
Exercício 1. Calcule
para cada função abaixo:
c) Pontos)
c)