Determine se a integral imprópria converge ou diverge. Se convergir, calcule seu valor.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral imprópria juntos! A questão pede para determinar se a integral
converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos calcular o valor dela. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente sobre integrais com limites infinitos.
Passo 2
Quando temos uma integral que vai até o infinito, a gente transforma isso em um limite. Ou seja, substituímos o infinito por uma variável, digamos $ b $, e depois calculamos o limite conforme $ b $ cresce sem parar. Assim, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral definida de $ \frac{1}{x^{2}} $ de 1 até $ b $. A antiderivada de $ \frac{1}{x^{2}} $ é:
Então, aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando $ b $ tende ao infinito:
Isso significa que a integral converge e seu valor é 1.
Resposta
A integral converge e seu valor é 1.