Se o raio de um círculo cresce a uma taxa de 30 cm / s, a que taxa cresce a área em relação ao tempo?

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo relacionado ao crescimento de um círculo. O enunciado nos diz que o raio de um círculo está aumentando a uma taxa de . Precisamos descobrir a que taxa a área desse círculo está crescendo ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos permitem relacionar a taxa de variação do raio com a taxa de variação da área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
A = pi r^2
onde é a área e é o raio do círculo.

Passo 3

Como o raio está variando com o tempo, a área também vai variar. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo .

Passo 4

Aplicando a derivada em ambos os lados da equação dAdt = ddt (pi r^2) = 2pi r drdt , temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na equação. Sabemos que dAdt = 2pi r times 30 = 60pi r . Portanto:

Passo 6

Para encontrar a taxa de variação da área, precisamos saber o valor do raio dAdt = 60pi r , cm^2/s . Se o problema não nos dá um valor específico para , podemos expressar a taxa de variação da área em termos de :

Resposta

A área do círculo está crescendo a uma taxa de , onde é o raio do círculo no instante considerado.

Exercícios relacionados