Se o raio de um círculo cresce a uma taxa de
, a que taxa cresce a área em relação ao tempo?
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo relacionado ao crescimento de um círculo. O enunciado nos diz que o raio de um círculo está aumentando a uma taxa de
. Precisamos descobrir a que taxa a área desse círculo está crescendo ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos permitem relacionar a taxa de variação do raio com a taxa de variação da área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
onde
é a área e
é o raio do círculo.
Passo 3
Como o raio
está variando com o tempo, a área
também vai variar. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo
.
Passo 4
Aplicando a derivada em ambos os lados da equação
, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na equação. Sabemos que
. Portanto:
Passo 6
Para encontrar a taxa de variação da área, precisamos saber o valor do raio
. Se o problema não nos dá um valor específico para
, podemos expressar a taxa de variação da área em termos de
:
Resposta
A área do círculo está crescendo a uma taxa de
, onde
é o raio do círculo no instante considerado.
Exercícios relacionados
Os resistores
e
, com
, são ligados a uma fonte, primeiro separadamente, depois em série e finalmente em paralelo. Coloque esses arranjos na ordem da corrente na fonte, começando pela maior.
Calcule a derivada usando as regras de derivação.
Um circuito RLC série, alimentado por uma fonte com
e
, contém uma resistência
, uma indutância com uma reatância indutiva
e uma capacitância com uma reatância capacitiva
.
a) Determine o fator de potência e a constante de fase
do circuito.
b) Qual é a taxa média com a qual a energia é dissipada na resistência?
c) Que nova capacitância deve ser usada no circuito para maximizar
sem mudar os outros parâmetros do circuito?
a) Determine o fator de potência
b) Qual é a taxa média
c) Que nova capacitância
Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.