Se o raio de um círculo cresce a uma taxa de , a que taxa cresce a área em relação ao tempo?

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo relacionado ao crescimento de um círculo. O enunciado nos diz que o raio de um círculo está aumentando a uma taxa de . Precisamos descobrir a que taxa a área desse círculo está crescendo ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos permitem relacionar a taxa de variação do raio com a taxa de variação da área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
onde é a área e é o raio do círculo.

Passo 3

Como o raio está variando com o tempo, a área também vai variar. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo .

Passo 4

Aplicando a derivada em ambos os lados da equação , temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar .

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na equação. Sabemos que . Portanto:

Passo 6

Para encontrar a taxa de variação da área, precisamos saber o valor do raio . Se o problema não nos dá um valor específico para , podemos expressar a taxa de variação da área em termos de :

Resposta

A área do círculo está crescendo a uma taxa de , onde é o raio do círculo no instante considerado.

Exercícios relacionados

Os resistores e , com , são ligados a uma fonte, primeiro separadamente, depois em série e finalmente em paralelo. Coloque esses arranjos na ordem da corrente na fonte, começando pela maior.
Calcule a derivada usando as regras de derivação.
Um circuito RLC série, alimentado por uma fonte com e , contém uma resistência , uma indutância com uma reatância indutiva e uma capacitância com uma reatância capacitiva .
a) Determine o fator de potência e a constante de fase do circuito.
b) Qual é a taxa média é com a qual a energia é dissipada na resistência?
c) Que nova capacitância deve ser usada no circuito para maximizar é sem mudar os outros parâmetros do circuito?
Encontre a derivada da função. Simplifique quando possível.