Se o raio de um círculo cresce a uma taxa de
, a que taxa cresce a área em relação ao tempo?
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo relacionado ao crescimento de um círculo. O enunciado nos diz que o raio de um círculo está aumentando a uma taxa de
. Precisamos descobrir a que taxa a área desse círculo está crescendo ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de derivadas que nos permitem relacionar a taxa de variação do raio com a taxa de variação da área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a área de um círculo. A fórmula é:
onde
é a área e
é o raio do círculo.
Passo 3
Como o raio
está variando com o tempo, a área
também vai variar. Para encontrar a taxa de variação da área em relação ao tempo, vamos derivar a fórmula da área em relação ao tempo
.
Passo 4
Aplicando a derivada em ambos os lados da equação
, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
.
Passo 5
Agora, vamos substituir os valores que conhecemos na equação. Sabemos que
. Portanto:
Passo 6
Para encontrar a taxa de variação da área, precisamos saber o valor do raio
. Se o problema não nos dá um valor específico para
, podemos expressar a taxa de variação da área em termos de
:
Resposta
A área do círculo está crescendo a uma taxa de
, onde
é o raio do círculo no instante considerado.