Encontre a derivada da função y= ⁵√x

Passo 1

Então, a gente tem uma função que é a raiz quinta de $ x $, ou seja, $ y = \sqrt[5]{x} $. O que vamos usar aqui é o cálculo de derivadas, especificamente a regra da potência. Precisamos saber como derivar funções que estão na forma de uma potência de $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. A raiz quinta de $ x $ pode ser escrita como uma potência:
x
Isso já deixa mais claro que vamos aplicar a regra da potência.

Passo 3

Agora, vamos lembrar qual é a regra para derivar uma potência de $ x $. A regra diz que se $ y = x^n $, então a derivada de $ y $ em relação a $ x $ é:
x
Ou seja, a gente multiplica o expoente pela potência de $ x $ com o expoente diminuído de um.

Passo 4

Aplicando essa regra à nossa função, onde $ n = \frac{1}{5} $, fica assim:
n = 15
Aqui, subtraímos 1 do expoente original.

Passo 5

Podemos simplificar essa expressão para deixar a derivada mais clara:
y' = 15x^45
Isso significa que a derivada é igual a um quinto de $ x $ elevado à potência de quatro quintos.

Resposta

A derivada da função $ y = \sqrt[5]{x} $ é:
y = raiz[5]x

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