O crescimento de uma cultura de bactérias obedece a função N(t) = 600 x 3 (elevado akt) onde N é o número de bactérias no instante, sendo t o tempo em horas. A produção tem início em t = 0. Após 24 horas há 1800 bactérias ao todo. Determine o valor de k e o número de bactérias após 24 horas.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma função que descreve o crescimento de uma cultura de bactérias: $ N(t) = 600 \times 3^{akt} $, onde:
  • $ N(t) $ é o número de bactérias no tempo $ t $ (em horas).
  • $ t $ é o tempo em horas.
  • $ k $ é uma constante que a gente precisa descobrir.
A questão nos diz que a produção começa em $ t = 0 $ e que, após 24 horas, temos 1800 bactérias. Nosso objetivo é encontrar o valor de $ k $ e confirmar quantas bactérias teremos após essas 24 horas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função de crescimento que temos: $ N(t) = 600 \times 3^{akt} $.
Essa é uma função exponencial, que é usada para modelar crescimento ou decrescimento rápido. No nosso caso, está descrevendo como o número de bactérias aumenta com o tempo.
A base da potência é 3, e o expoente é $ akt $. A constante $ k $ é o que vamos descobrir, e ela influencia na rapidez com que as bactérias crescem.

Passo 3

Sabemos que, após 24 horas ($ t = 24 $), temos 1800 bactérias. Podemos usar essa informação para montar uma equação e resolver para $ k $.
Vamos substituir $ t = 24 $ e $ N(t) = 1800 $ na função:
t = 24

Passo 4

Agora, vamos isolar a parte exponencial para facilitar. Primeiro, dividimos os dois lados da equação por 600:
1800600 = 3^a k times 24
3 = 3^a k times 24

Passo 5

Olha só! Temos $ 3 = 3^{a k \times 24} $. Isso significa que o expoente deve ser 1, porque $ 3^1 = 3 $.
Então:
3 = 3^a k times 24

Passo 6

Agora, precisamos determinar o valor de $ k $. Mas a equação tem duas incógnitas: $ a $ e $ k $. Parece que falta uma informação ou a constante $ a $ deveria ser conhecida.
Se assumirmos que $ a = 1 $ (já que não foi dado outro valor), podemos resolver para $ k $:
k
a
k

Passo 7

Com $ k = \frac{1}{24} $, podemos confirmar o número de bactérias após 24 horas usando a função original:
k = 124
N(24) = 600 times 3^124 times 24
N(24) = 600 times 3^1
N(24) = 600 times 3

Resposta

O valor de $ k $ é $ \frac{1}{24} $ e, após 24 horas, há 1800 bactérias.

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