Encontre a derivada das funções abaixo com as regras de derivação: f(x) = x ln x - x

Passo 1

Vamos resumir o que a gente precisa fazer: temos que encontrar a derivada da função usando as regras de derivação. Para isso, vamos precisar saber como derivar funções que envolvem produtos e logaritmos naturais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . Ela é formada por dois termos: x ln x e -x. Para encontrar a derivada dela, vamos derivar cada termo separadamente.

Passo 3

Vamos começar com o primeiro termo, x ln x. Aqui, temos o produto de duas funções: e . Para derivar um produto de duas funções, usamos a Regra do Produto.

Passo 4

A Regra do Produto diz que se você tem , a derivada é . Então, precisamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x).

Passo 5

Calculando as derivadas:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .

Passo 6

Aplicando a Regra do Produto:

Passo 7

Agora, vamos derivar o segundo termo da função, que é -x. A derivada de -x é simplesmente -1.

Passo 8

Finalmente, somamos as derivadas dos dois termos:

Resposta

A derivada da função é .

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