Resolva os Problemas de Otimização (faça ao menos 4)

Passo 1

Vamos resolver um problema de otimização onde queremos encontrar as dimensões de um retângulo que maximize a área, dado que o seu perímetro é de 20 metros. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria e cálculo para encontrar as dimensões ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as variáveis. Seja o comprimento do retângulo e a largura. Sabemos que o perímetro é dado por:
Como o perímetro é 20 metros:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:

Passo 3

Agora, queremos maximizar a área do retângulo, que é:
Substituindo na expressão da área:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza a área, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Substituindo na expressão para :

Passo 5

Vamos resolver um problema de otimização onde queremos minimizar o custo de construção de uma cerca cercando uma área retangular de 100 metros quadrados. Precisamos usar geometria e cálculo para encontrar as dimensões que resultam no menor custo.

Passo 6

Definimos as variáveis: seja o comprimento e a largura do retângulo. A área é:
Podemos expressar em função de :

Passo 7

Assumindo que o custo é proporcional ao perímetro, o custo é:

Passo 8

Para minimizar o custo, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Multiplicando ambos os lados por :
Então:

Passo 9

Vamos resolver um problema de otimização para encontrar o número de produtos a serem fabricados para maximizar o lucro. Precisaremos usar funções de lucro e derivadas para encontrar o ponto ótimo.

Passo 10

Definimos como o número de unidades produzidas. Suponha que a função de receita seja:
E a função de custo seja:
O lucro é:

Passo 11

Para maximizar o lucro, calculamos a derivada de em relação a :
Como a derivada é constante e positiva, o lucro aumenta indefinidamente com . Porém, na prática, há restrições de produção.

Passo 12

Suponha que a capacidade máxima de produção seja 20 unidades. Então, o lucro máximo ocorre em :

Passo 13

Vamos resolver um problema de otimização para encontrar a altura ideal de uma caixa aberta para minimizar o material usado, dado um volume fixo. Precisamos aplicar geometria e cálculo.

Passo 14

Definimos como o comprimento da base da caixa e como a altura. O volume é:
A área de material usada é composta da base e das quatro faces laterais:

Passo 15

Para minimizar , derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então:

Resposta

A altura ideal da caixa é aproximadamente 6,3 metros, com a base de cerca de 12,6 metros, minimizando a quantidade de material utilizado.

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