Resolva os Problemas de Otimização (faça ao menos 4)
Passo 1
Vamos resolver um problema de otimização onde queremos encontrar as dimensões de um retângulo que maximize a área, dado que o seu perímetro é de 20 metros. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria e cálculo para encontrar as dimensões ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis. Seja
o comprimento do retângulo e
a largura. Sabemos que o perímetro
é dado por:
Como o perímetro é 20 metros:
Podemos simplificar dividindo tudo por 2:
Passo 3
Agora, queremos maximizar a área
do retângulo, que é:
Substituindo
na expressão da área:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza a área, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Substituindo
na expressão para
:
Passo 5
Vamos resolver um problema de otimização onde queremos minimizar o custo de construção de uma cerca cercando uma área retangular de 100 metros quadrados. Precisamos usar geometria e cálculo para encontrar as dimensões que resultam no menor custo.
Passo 6
Definimos as variáveis: seja
o comprimento e
a largura do retângulo. A área
é:
Podemos expressar
em função de
:
Passo 7
Assumindo que o custo é proporcional ao perímetro, o custo
é:
Passo 8
Para minimizar o custo, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Multiplicando ambos os lados por
:
Então:
Passo 9
Vamos resolver um problema de otimização para encontrar o número de produtos a serem fabricados para maximizar o lucro. Precisaremos usar funções de lucro e derivadas para encontrar o ponto ótimo.
Passo 10
Definimos
como o número de unidades produzidas. Suponha que a função de receita
seja:
E a função de custo
seja:
O lucro
é:
Passo 11
Para maximizar o lucro, calculamos a derivada de
em relação a
:
Como a derivada é constante e positiva, o lucro aumenta indefinidamente com
. Porém, na prática, há restrições de produção.
Passo 12
Suponha que a capacidade máxima de produção seja 20 unidades. Então, o lucro máximo ocorre em
:
Passo 13
Vamos resolver um problema de otimização para encontrar a altura ideal de uma caixa aberta para minimizar o material usado, dado um volume fixo. Precisamos aplicar geometria e cálculo.
Passo 14
Definimos
como o comprimento da base da caixa e
como a altura. O volume
é:
A área de material usada
é composta da base e das quatro faces laterais:
Passo 15
Para minimizar
, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Então:
Resposta
A altura ideal da caixa é aproximadamente 6,3 metros, com a base de cerca de 12,6 metros, minimizando a quantidade de material utilizado.
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