Encontre a derivada em relação a de use-a para encontrar a equação da reta tangente a .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função em relação a e, com essa derivada, determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa função.
A derivada de em relação a é representada por .
Para , aplicamos a regra básica de derivação:

Passo 3

Agora que temos a expressão para a derivada, podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto onde . Basta substituir na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 4.

Passo 4

Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto pelo qual a reta passa e da inclinação dessa reta. Já temos a inclinação ( ). Agora, vamos encontrar o ponto na curva onde .
Substituindo na função original:
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 5

Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa equação para a forma :

Resposta

A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .

Exercícios relacionados

Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funçães:
c)
a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
b) qual é a solução do problema de valor inicial para ;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando ;
d) o que acontece com a solução obtida em b) quando consideramos valores de cada vez mais próximos de 1;
e) qual é a solução do problema de valor inicial para e esboce o gráfico da solução. Essa situação é denominada ressonância pois a força externa tem a mesma frequência das oscilações naturais do sistema.
Escreva as sentenças na forma de uma desigualdade: é menor do que 4