Encontre a derivada em relação a de use-a para encontrar a equação da reta tangente a .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a derivada da função em relação a e, com essa derivada, determinar a equação da reta tangente a essa curva no ponto onde . Vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como elas nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a . A derivada de uma função nos dá a inclinação da reta tangente em qualquer ponto dessa função.
A derivada de em relação a é representada por .
Para , aplicamos a regra básica de derivação:
Passo 3
Agora que temos a expressão para a derivada, podemos encontrar a inclinação da reta tangente no ponto onde . Basta substituir na expressão da derivada:
Então, a inclinação da reta tangente nesse ponto é 4.
Passo 4
Para encontrar a equação da reta tangente, precisamos de um ponto pelo qual a reta passa e da inclinação dessa reta. Já temos a inclinação (). Agora, vamos encontrar o ponto na curva onde .
Substituindo na função original:
Portanto, o ponto de tangência é .
Passo 5
Com a inclinação e o ponto , podemos usar a fórmula da equação da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Agora, vamos simplificar essa equação para a forma :
Resposta
A equação da reta tangente à curva no ponto onde é .