Usando a definição, determinar a derivada das seguintes funçães:
c)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função usando a definição de derivada. Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial. Para isso, vamos precisar entender e aplicar a fórmula básica da derivada pelo limite.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da derivada de uma função . A derivada, denotada por , é o limite quando se aproxima de zero da diferença entre e , dividida por . Em fórmula:

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa definição à nossa função . Primeiro, calculamos :

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a diferença :
Simplificando, os termos constantes se cancelam:

Passo 5

Agora, vamos calcular a diferença dividida por :
Para simplificar essa expressão, encontramos um denominador comum para as frações no numerador:
Então:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o limite quando tende a zero:

Resposta

A derivada da função é:

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a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
b) qual é a solução do problema de valor inicial para ;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando ;
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e) qual é a solução do problema de valor inicial para e esboce o gráfico da solução. Essa situação é denominada ressonância pois a força externa tem a mesma frequência das oscilações naturais do sistema.
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Encontre a derivada em relação a de use-a para encontrar a equação da reta tangente a .