Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.
dT/dt = k(T - Tm), T(0) = T0 ; k, Tm e T0 constantes

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial e a condição inicial . O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e entender um pouco sobre soluções de equações diferenciais lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução. Temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método do fator integrante. Mas antes disso, vamos reorganizar a equação para a forma padrão:
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a integrar a equação. O fator integrante é dado por:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante :
Isso transforma a equação em uma forma que é fácil de integrar do lado esquerdo:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é simplesmente , e a do lado direito é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por para isolar :

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante . Sabemos que :
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na solução geral, temos:

Passo 9

Por fim, determinamos o maior intervalo onde a solução está definida. Como não há restrições sobre na equação exponencial, o intervalo máximo é todo o conjunto dos números reais:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
E o maior intervalo onde a solução está definida é:

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