Nos problemas 25-30, resolva o problema de valor inicial dado. Dê o maior intervalo
sobre o qual a solução está definida.
e
constantes
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um problema de valor inicial com a equação diferencial
e a condição inicial
. O conteúdo aqui é equações diferenciais de primeira ordem, especificamente as lineares. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de integração e entender um pouco sobre soluções de equações diferenciais lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para facilitar a resolução. Temos:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem e podemos resolver usando o método do fator integrante. Mas antes disso, vamos reorganizar a equação para a forma padrão:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante, que é uma função que vai nos ajudar a integrar a equação. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial original pelo fator integrante
:
Isso transforma a equação em uma forma que é fácil de integrar do lado esquerdo:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral do lado esquerdo é simplesmente
, e a do lado direito é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, temos:
Vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar a constante
. Sabemos que
:
Então,
Passo 8
Substituindo
de volta na solução geral, temos:
Passo 9
Por fim, determinamos o maior intervalo
onde a solução está definida. Como não há restrições sobre
na equação exponencial, o intervalo máximo é todo o conjunto dos números reais:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
E o maior intervalo onde a solução está definida é: