a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
b) qual é a solução do problema de valor inicial para ;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando ;
d) o que acontece com a solução obtida em b) quando consideramos valores de cada vez mais próximos de 1;
e) qual é a solução do problema de valor inicial para e esboce o gráfico da solução. Essa situação é denominada ressonância pois a força externa tem a mesma frequência das oscilações naturais do sistema.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre o movimento de uma massa, que geralmente envolve conceitos de física como oscilações e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar montar um problema de valor inicial, resolver a equação diferencial para diferentes casos de ω (a frequência angular), e analisar o comportamento da solução em várias situações, incluindo a ressonância.

Passo 2

a) Problema de Valor Inicial que Descreve o Movimento da Massa
Vamos começar definindo o problema de valor inicial. Geralmente, o movimento de uma massa presa a uma mola pode ser descrito por uma equação diferencial do segundo grau. Supondo que não haja amortecimento e que estamos considerando uma força externa harmônica, a equação fica:
Aqui, é o deslocamento da massa em função do tempo, é a amplitude da força externa, e é a frequência angular da força aplicada. As condições iniciais geralmente são dadas por e , que representam a posição e a velocidade inicial da massa, respectivamente.

Passo 3

b) Solução do Problema de Valor Inicial para
Quando , a solução geral da equação diferencial pode ser dividida em duas partes: a solução da equação homogênea e uma solução particular.
A equação homogênea é:
A solução geral da homogênea é:
Agora, para encontrar a solução particular da equação completa, assumimos uma forma semelhante à força externa. Vamos supor:
Ao substituir na equação diferencial e resolver para e , encontramos:
Portanto, a solução geral para é:

Passo 4

c) Comportamento da Solução quando
À medida que o tempo tende ao infinito, os termos que envolvem e (a parte homogênea) continuam oscilando, mas não crescem ou diminuem se não há amortecimento. Já o termo particular também oscila de forma estável. Portanto, a solução permanece oscilando de maneira periódica ao longo do tempo.

Passo 5

d) Comportamento da Solução quando se Aproxima de 1
Quando se aproxima de 1, o denominador na solução particular fica muito pequeno, fazendo com que a amplitude dessa parte da solução aumente significativamente. Isso indica que o sistema está próximo da ressonância, onde pequenas alterações na frequência externa podem causar grandes oscilações na amplitude do movimento.

Passo 6

e) Solução do Problema de Valor Inicial para e Gráfico da Solução
Quando , a equação diferencial se torna:
Nesse caso, a solução particular não pode ser assumida da mesma forma que antes porque a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema, causando ressonância. A solução particular passa a incluir um termo que cresce linearmente com o tempo:
Assim, a solução geral é:
O gráfico dessa solução mostra que, além das oscilações normais, a amplitude das oscilações aumenta de forma linear com o tempo devido ao termo , caracterizando a ressonância.

Resposta

a) O problema de valor inicial que descreve o movimento da massa é a equação diferencial com condições iniciais e .
b) Para , a solução é .
c) Quando , a solução continua oscilando de forma periódica sem crescimento ou decaimento da amplitude.
d) Conforme se aproxima de 1, a amplitude da solução particular aumenta significativamente, indicando proximidade da ressonância.
e) Para , a solução é . O gráfico mostra oscilações com amplitude que cresce linearmente com o tempo, caracterizando a ressonância.

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