a) qual o problema de valor inicial que descreve o movimento da massa;
b) qual é a solução do problema de valor inicial para
;
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando
;
d) o que acontece com a solução obtida em b) quando consideramos valores de
cada vez mais próximos de 1;
e) qual é a solução do problema de valor inicial para
e esboce o gráfico da solução. Essa situação é denominada ressonância pois a força externa tem a mesma frequência das oscilações naturais do sistema.
b) qual é a solução do problema de valor inicial para
c) qual é o comportamento da solução obtida em b) quando
d) o que acontece com a solução obtida em b) quando consideramos valores de
e) qual é a solução do problema de valor inicial para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Estamos falando sobre o movimento de uma massa, que geralmente envolve conceitos de física como oscilações e equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar montar um problema de valor inicial, resolver a equação diferencial para diferentes casos de ω (a frequência angular), e analisar o comportamento da solução em várias situações, incluindo a ressonância.
Passo 2
a) Problema de Valor Inicial que Descreve o Movimento da Massa
Vamos começar definindo o problema de valor inicial. Geralmente, o movimento de uma massa presa a uma mola pode ser descrito por uma equação diferencial do segundo grau. Supondo que não haja amortecimento e que estamos considerando uma força externa harmônica, a equação fica:
Aqui,
é o deslocamento da massa em função do tempo,
é a amplitude da força externa, e
é a frequência angular da força aplicada. As condições iniciais geralmente são dadas por
e
, que representam a posição e a velocidade inicial da massa, respectivamente.
Passo 3
b) Solução do Problema de Valor Inicial para
Quando
, a solução geral da equação diferencial pode ser dividida em duas partes: a solução da equação homogênea e uma solução particular.
A equação homogênea é:
A solução geral da homogênea é:
Agora, para encontrar a solução particular
da equação completa, assumimos uma forma semelhante à força externa. Vamos supor:
Ao substituir
na equação diferencial e resolver para
e
, encontramos:
Portanto, a solução geral para
é:
Passo 4
c) Comportamento da Solução quando
À medida que o tempo
tende ao infinito, os termos que envolvem
e
(a parte homogênea) continuam oscilando, mas não crescem ou diminuem se não há amortecimento. Já o termo particular
também oscila de forma estável. Portanto, a solução permanece oscilando de maneira periódica ao longo do tempo.
Passo 5
d) Comportamento da Solução quando
se Aproxima de 1
Quando
se aproxima de 1, o denominador
na solução particular
fica muito pequeno, fazendo com que a amplitude dessa parte da solução aumente significativamente. Isso indica que o sistema está próximo da ressonância, onde pequenas alterações na frequência externa podem causar grandes oscilações na amplitude do movimento.
Passo 6
e) Solução do Problema de Valor Inicial para
e Gráfico da Solução
Quando
, a equação diferencial se torna:
Nesse caso, a solução particular não pode ser assumida da mesma forma que antes porque a frequência da força externa coincide com a frequência natural do sistema, causando ressonância. A solução particular passa a incluir um termo que cresce linearmente com o tempo:
Assim, a solução geral é:
O gráfico dessa solução mostra que, além das oscilações normais, a amplitude das oscilações aumenta de forma linear com o tempo devido ao termo
, caracterizando a ressonância.
Resposta
a) O problema de valor inicial que descreve o movimento da massa é a equação diferencial
com condições iniciais
e
.
b) Para
, a solução é
.
c) Quando
, a solução continua oscilando de forma periódica sem crescimento ou decaimento da amplitude.
d) Conforme
se aproxima de 1, a amplitude da solução particular aumenta significativamente, indicando proximidade da ressonância.
e) Para
, a solução é
. O gráfico mostra oscilações com amplitude que cresce linearmente com o tempo, caracterizando a ressonância.
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c)
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de
use-a para encontrar a equação da reta tangente a
.