Se o círculo de raio 1 é dado pela equação x^2 + y^2 = 1, encontre a equação da reta tangente ao cículo no ponto ( -raiz(2)/2, raiz(2)/2 ). Qual o ângulo do círculo trigonométrico corresponde a este ponto (em radianos)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um círculo de raio 1 dado pela equação . A tarefa é encontrar a equação da reta tangente a esse círculo no ponto e descobrir qual o ângulo correspondente a esse ponto no círculo trigonométrico, medido em radianos. Para resolver isso, vamos precisar entender equações de círculos, retas tangentes e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto dado. Sabemos que a reta tangente a um círculo em um ponto qualquer é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo a esse ponto. Como o centro do círculo é na origem , o raio é a linha que vai de a .

Passo 3

Vamos calcular o coeficiente angular (inclinação) desse raio. O coeficiente angular de uma reta que passa por dois pontos e é dado por:
Aqui, os pontos são e :

Passo 4

Como a reta tangente é perpendicular ao raio, o coeficiente angular da tangente é o negativo do inverso de :
Agora que temos o coeficiente angular da reta tangente, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo e o ponto :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos encontrar o ângulo correspondente a esse ponto no círculo trigonométrico. No círculo trigonométrico, as coordenadas de um ponto correspondem a , onde é o ângulo em radianos.
No nosso caso:
Sabemos que e . Esse par de valores ocorre no segundo quadrante, e o ângulo correspondente é:

Resposta

A equação da reta tangente ao círculo no ponto é . O ângulo do círculo trigonométrico correspondente a este ponto é radianos.

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