Se o círculo de raio 1 é dado pela equação
, encontre a equação da reta tangente ao cículo no ponto (
). Qual o ângulo do círculo trigonométrico corresponde a este ponto (em radianos)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um círculo de raio 1 dado pela equação
. A tarefa é encontrar a equação da reta tangente a esse círculo no ponto
e descobrir qual o ângulo correspondente a esse ponto no círculo trigonométrico, medido em radianos. Para resolver isso, vamos precisar entender equações de círculos, retas tangentes e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação da reta tangente no ponto dado. Sabemos que a reta tangente a um círculo em um ponto qualquer é perpendicular ao raio que liga o centro do círculo a esse ponto. Como o centro do círculo
é na origem
, o raio é a linha que vai de
a
.
Passo 3
Vamos calcular o coeficiente angular (inclinação) desse raio. O coeficiente angular
de uma reta que passa por dois pontos
e
é dado por:
Aqui, os pontos são
e
:
Passo 4
Como a reta tangente é perpendicular ao raio, o coeficiente angular da tangente
é o negativo do inverso de
:
Agora que temos o coeficiente angular da reta tangente, podemos usar a forma ponto-inclinação da equação da reta:
Substituindo
e o ponto
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos encontrar o ângulo correspondente a esse ponto no círculo trigonométrico. No círculo trigonométrico, as coordenadas
de um ponto correspondem a
, onde
é o ângulo em radianos.
No nosso caso:
Sabemos que
e
. Esse par de valores ocorre no segundo quadrante, e o ângulo correspondente é:
Resposta
A equação da reta tangente ao círculo no ponto
é
. O ângulo do círculo trigonométrico correspondente a este ponto é
radianos.
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