Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função . Isso significa que vamos calcular como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a , que denotamos por . Para isso, vamos tratar como uma constante.
A função pode ser escrita como . Agora, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de em relação a é multiplicado pela derivada de em relação a .
Então,

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a . Como é constante, a derivada de é zero, e a derivada de é .
Portanto,

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a , denotada por . Dessa vez, tratamos como constante.
Usando novamente a regra da cadeia:

Passo 6

Derivando em relação a : é constante, então sua derivada é zero, e a derivada de é 8.
Portanto,

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a :

Resposta

As derivadas parciais da função são:
e

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Calcule a integral . Se necessário, utilize um caminho apropriado. Justifique sua resposta.
Seja . Utilize duas diferentes maneiras de calcular Comente o resultado.