Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
o)
o)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar as derivadas parciais da função
. Isso significa que vamos calcular como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra fixa. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, que denotamos por
. Para isso, vamos tratar
como uma constante.
A função pode ser escrita como
. Agora, aplicamos a regra da cadeia: a derivada de
em relação a
é
multiplicado pela derivada de
em relação a
.
Então,
Passo 3
Agora, precisamos derivar
em relação a
. Como
é constante, a derivada de
é zero, e a derivada de
é
.
Portanto,
Passo 4
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a
:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial em relação a
, denotada por
. Dessa vez, tratamos
como constante.
Usando novamente a regra da cadeia:
Passo 6
Derivando
em relação a
:
é constante, então sua derivada é zero, e a derivada de
é 8.
Portanto,
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da derivada parcial em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais da função são:
e
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas parciais das funções a seguir.
Calcule a integral
. Se necessário, utilize um caminho
apropriado. Justifique sua resposta.
Seja
. Utilize duas diferentes maneiras de calcular
Comente o resultado.