Calcule a integral
. Se necessário, utilize um caminho
apropriado. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos resolver a integral
. Esse problema envolve cálculo de integrais no plano complexo, especificamente integrais de contorno. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de análise complexa, como caminhos de integração e propriedades de funções holomorfas. Vamos dividir a integral em partes mais simples e escolher um caminho apropriado para facilitar os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Temos:
Sabemos que
. Então:
Passo 3
Agora, a integral fica:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 4
Primeiro, calculamos
. Como
é uma constante, a integral é simplesmente:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Simplificando a constante:
Então, a integral fica:
Passo 6
Para resolver
, precisamos considerar um caminho de integração apropriado. Vamos escolher o caminho que vai de
a
ao longo do eixo imaginário, que não passa pela singularidade em
. Entretanto, a função
tem uma singularidade em
, e a integral ao redor de um caminho que envolve essa singularidade é conhecida como uma integral de contorno que pode ser avaliada usando o teorema dos resíduos.
Passo 7
No caso, como estamos indo diretamente de
a
sem contornar a origem, a integral
é igual a zero, pois não há encircamento da singularidade. Portanto:
Passo 8
Somando as duas partes da integral:
Resposta
A integral
é igual a
.
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