Calcule a integral integral-i^i(z+2i z) d z. Se necessário, utilize um caminho C apropriado. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver a integral integral-i^i(z+2i z) dz. Esse problema envolve cálculo de integrais no plano complexo, especificamente integrais de contorno. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de análise complexa, como caminhos de integração e propriedades de funções holomorfas. Vamos dividir a integral em partes mais simples e escolher um caminho apropriado para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Temos:
z + 2i z = zi z + 2i z = 1i + 2i z
Sabemos que 1i = -i. Então:
z + 2i z = -i + 2i z

Passo 3

Agora, a integral fica:
integral-i^i ( -i + 2i z ) dz = integral-i^i (-i) , dz + integral-i^i 2i z , dz
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos integral-i^i (-i) , dz. Como -i é uma constante, a integral é simplesmente:
- i integral-i^i dz = - i [z]-i^i = -i (i - (-i)) = -i (2i) = -i cdot 2i = -2i^2 = -2(-1) = 2

Passo 5

Agora, vamos calcular integral-i^i 2i z , dz. Simplificando a constante:
2i = -2i
Então, a integral fica:
-2i integral-i^i 1z , dz

Passo 6

Para resolver integral-i^i 1z , dz, precisamos considerar um caminho de integração apropriado. Vamos escolher o caminho que vai de -i a i ao longo do eixo imaginário, que não passa pela singularidade em z=0. Entretanto, a função 1z tem uma singularidade em z=0, e a integral ao redor de um caminho que envolve essa singularidade é conhecida como uma integral de contorno que pode ser avaliada usando o teorema dos resíduos.

Passo 7

No caso, como estamos indo diretamente de -i a i sem contornar a origem, a integral integral-i^i 1z , dz é igual a zero, pois não há encircamento da singularidade. Portanto:
-2i integral-i^i 1z , dz = -2i cdot 0 = 0

Passo 8

Somando as duas partes da integral:
2 + 0 = 2

Resposta

A integral integral-i^i(z+2i z) dz é igual a 2.

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