Calcule a integral . Se necessário, utilize um caminho apropriado. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos resolver a integral . Esse problema envolve cálculo de integrais no plano complexo, especificamente integrais de contorno. Para resolver, vamos precisar entender conceitos de análise complexa, como caminhos de integração e propriedades de funções holomorfas. Vamos dividir a integral em partes mais simples e escolher um caminho apropriado para facilitar os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da integral. Temos:
Sabemos que . Então:

Passo 3

Agora, a integral fica:
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

Primeiro, calculamos . Como é uma constante, a integral é simplesmente:

Passo 5

Agora, vamos calcular . Simplificando a constante:
Então, a integral fica:

Passo 6

Para resolver , precisamos considerar um caminho de integração apropriado. Vamos escolher o caminho que vai de a ao longo do eixo imaginário, que não passa pela singularidade em . Entretanto, a função tem uma singularidade em , e a integral ao redor de um caminho que envolve essa singularidade é conhecida como uma integral de contorno que pode ser avaliada usando o teorema dos resíduos.

Passo 7

No caso, como estamos indo diretamente de a sem contornar a origem, a integral é igual a zero, pois não há encircamento da singularidade. Portanto:

Passo 8

Somando as duas partes da integral:

Resposta

A integral é igual a .

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