Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
c) f(x, y) = x^2 * y

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar onde a função é diferenciável. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com a noção de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos checar se as derivadas parciais existem e são contínuas nos pontos considerados.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda em uma direção específica, mantendo a outra variável constante.

Passo 3

Calculando a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas naquele ponto.

Passo 5

As derivadas parciais e são polinômios em e , o que significa que são contínuas para todos os valores reais de e .

Passo 6

Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo o plano , concluímos que a função é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.

Resposta

A função é diferenciável para todo ponto no plano .

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