Determine o conjunto dos pontos em que a função dada é diferenciável. Justifique
c)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar onde a função
é diferenciável. Estamos trabalhando com cálculo multivariável, especificamente com a noção de diferenciabilidade de funções de duas variáveis. Para resolver isso, vamos checar se as derivadas parciais existem e são contínuas nos pontos considerados.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda em uma direção específica, mantendo a outra variável constante.
Passo 3
Calculando a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos verificar se elas são contínuas em todo o domínio da função. Uma função é diferenciável em um ponto se todas as suas derivadas parciais existem e são contínuas naquele ponto.
Passo 5
As derivadas parciais
e
são polinômios em
e
, o que significa que são contínuas para todos os valores reais de
e
.
Passo 6
Como as derivadas parciais existem e são contínuas em todo o plano
, concluímos que a função
é diferenciável em todos os pontos do seu domínio.
Resposta
A função
é diferenciável para todo ponto
no plano
.