Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva C seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.2.
ointc(x^2-y^2) cdot d x+x cdot d y
Onde C é o círculo x^2+y^2=9.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede: a gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva que a gente vai usar é um círculo de raio 3, já que , e ele está orientado no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área limitada pela curva. Vamos precisar identificar as funções e na integral e aplicar o teorema para transformar essa integral de contorno em uma integral sobre a região dentro do círculo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções ointC (x^2 - y^2) dx + x dy e na integral dada:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que:
ointC P dx + Q dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Onde é a região dentro da curva .

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (x^2 - y^2)partial y = -2y

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaD (1 - (-2y)) dA = integral duplaD (1 + 2y) dA
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região , que é o círculo .

Passo 6

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde e . A região em coordenadas polares vai de a e a .

Passo 7

Expressando a função 1 + 2y = 1 + 2r sin theta em coordenadas polares:
integral0^2pi integral0^3 (1 + 2r sin theta) cdot r , dr , dtheta
E o elemento de área em coordenadas polares é . Então, a integral dupla fica:

Passo 8

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos os termos dentro da integral:
integral0^2pi integral0^3 (r + 2r^2 sin theta) , dr , dtheta
Integrando em relação a integral0^2pi [ 12 r^2 + 23 r^3 sin theta ]0^3 dtheta = integral0^2pi ( 12 cdot 9 + 23 cdot 27 sin theta ) dtheta = integral0^2pi ( 4.5 + 18 sin theta ) dtheta :

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^2pi 4.5 , dtheta + integral0^2pi 18 sin theta , dtheta = 4.5 cdot 2pi + 18 cdot 0 = 9pi :
A segunda integral é zero porque a integral de de a cancela.

Resposta

O valor da integral é .

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