Use o Teorema de Green para calcular a integral. Em cada exercício, suponha que a curva
seja orientada no sentido anti-horário. (Ex 3 a 13)
24.2.
Onde
é o círculo
.
24.2.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício pede: a gente precisa calcular uma integral de linha usando o Teorema de Green. A curva
que a gente vai usar é um círculo de raio 3, já que
, e ele está orientado no sentido anti-horário. O conteúdo principal aqui é o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a área limitada pela curva. Vamos precisar identificar as funções
e
na integral e aplicar o teorema para transformar essa integral de contorno em uma integral sobre a região dentro do círculo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na integral dada:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos aplicar o Teorema de Green, que diz que:
Onde
é a região dentro da curva
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Agora, precisamos calcular essa integral dupla sobre a região
, que é o círculo
.
Passo 6
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, onde
e
. A região
em coordenadas polares vai de
a
e
a
.
Passo 7
Expressando a função
em coordenadas polares:
E o elemento de área em coordenadas polares é
. Então, a integral dupla fica:
Passo 8
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos os termos dentro da integral:
Integrando em relação a
:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
A segunda integral é zero porque a integral de
de
a
cancela.
Resposta
O valor da integral é
.