Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as derivadas de segunda ordem da função
. Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis,
e
. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. Isso significa que vamos derivar a função
em relação a
mantendo
constante, e depois em relação a
mantendo
constante.
Passo 3
Vamos começar com
, a derivada parcial de
em relação a
. Usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A derivada da função
em relação a
é
, e depois multiplicamos pela derivada de
em relação a
.
Então, temos:
Derivando dentro:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
, a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, usamos a regra da cadeia.
Derivando dentro:
Portanto:
Passo 5
Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso inclui
,
,
e
. Vamos começar com
, que é a derivada de
em relação a
.
Passo 6
Para encontrar
, derivamos
em relação a
:
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:
Passo 8
De maneira semelhante, encontramos
, que por teorema de Schwarz é igual a
.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra do quociente:
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Expresse em graus:
a)
a)
Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
c)
c)
Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo: