Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar as derivadas de segunda ordem da função . Isso está relacionado ao cálculo de derivadas parciais, que nos ajuda a entender como a função muda em relação a cada uma das variáveis, e . Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de primeira ordem e depois as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Isso significa que vamos derivar a função em relação a mantendo constante, e depois em relação a mantendo constante.

Passo 3

Vamos começar com , a derivada parcial de em relação a . Usamos a regra da cadeia para derivar funções compostas. A derivada da função em relação a é , e depois multiplicamos pela derivada de em relação a .
Então, temos:
Derivando dentro:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar , a derivada parcial de em relação a . Novamente, usamos a regra da cadeia.
Derivando dentro:
Portanto:

Passo 5

Agora que temos as derivadas de primeira ordem, vamos calcular as derivadas de segunda ordem. Isso inclui , , e . Vamos começar com , que é a derivada de em relação a .

Passo 6

Para encontrar , derivamos em relação a :
Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a :
Usando a regra do quociente novamente:
Simplificando:

Passo 8

De maneira semelhante, encontramos , que por teorema de Schwarz é igual a .

Passo 9

Finalmente, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra do quociente:

Resposta

As derivadas de segunda ordem da função são:

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Expresse em graus:
a)
Dê as expressões gerais dos arcos côngruos a:
c)
Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo: