Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar as derivadas de segunda ordem dessa função. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a
e
, tanto duas vezes em
, duas vezes em
e também as derivadas mistas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e regras de derivação para funções exponenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante. A função é
. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
. Temos:
Derivando em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. A função continua sendo
. A derivada de
em relação a
é
. Aqui,
, então
.
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos derivar
novamente em relação a
para encontrar
. Temos:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Finalmente, vamos encontrar as derivadas mistas:
e
.
Primeiro, derivamos
em relação a
:
De forma similar, derivando
em relação a
:
Resposta
As derivadas de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Expresse em graus:
a)
a)
Sejam
uma função derivável até
ordem
dada por
. Calcule
. Supondo
, calcule
.