Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar as derivadas de segunda ordem dessa função. Isso envolve calcular as derivadas parciais em relação a e , tanto duas vezes em , duas vezes em e também as derivadas mistas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e regras de derivação para funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . Quando derivamos em relação a , tratamos como uma constante. A função é . A derivada de em relação a é . Aqui, , então .
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 4

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a . A função continua sendo . A derivada de em relação a é . Aqui, , então .
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos derivar novamente em relação a para encontrar . Temos:
Derivando em relação a :

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar as derivadas mistas: e .
Primeiro, derivamos em relação a :
De forma similar, derivando em relação a :

Resposta

As derivadas de segunda ordem da função são:

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Expresse em graus:
a)
Sejam uma função derivável até ordem dada por . Calcule . Supondo , calcule .