Use a regra da cadeia para as funções abaixo e calcule partial zpartial t e partial zpartial s. z=x^2-y^2, x=3 t-s, y=t+2 s

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente usar a regra da cadeia para encontrar as derivadas parciais de z = x^2 - y^2, x = 3t - s, y = t + 2s em relação a e . A gente tem as seguintes funções:
Vamos precisar conhecer a regra da cadeia e como aplicar derivadas parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia. Ela é usada quando uma variável depende de outra através de funções intermediárias. No nosso caso, partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t depende de partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s e , que por sua vez dependem de e .
A fórmula geral para a derivada parcial de em relação a é:
E de forma similar para :

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial zpartial x = 2x em relação a partial zpartial y = -2y e :
Isso vem diretamente de derivar em relação a e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de partial xpartial t = 3, partial xpartial s = -1 e partial ypartial t = 1, partial ypartial s = 2 em relação a e :
Isso porque e .

Passo 5

Agora, substituímos tudo na fórmula da regra da cadeia para partial zpartial t = partial zpartial x cdot partial xpartial t + partial zpartial y cdot partial ypartial t = 2x cdot 3 + (-2y) cdot 1 = 6x - 2y :
partial zpartial s = partial zpartial x cdot partial xpartial s + partial zpartial y cdot partial ypartial s = 2x cdot (-1) + (-2y) cdot 2 = -2x -4y
E para :

Passo 6

Finalmente, substituímos x = 3t - s, y = t + 2s e partial zpartial t = 6(3t - s) - 2(t + 2s) = 18t - 6s - 2t - 4s = 16t - 10s pelas expressões dadas em termos de partial zpartial s = -2(3t - s) -4(t + 2s) = -6t + 2s -4t -8s = -10t -6s e :
Então:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial t = 16t - 10s
partial zpartial s = -10t -6s

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