Sejam
uma função derivável até
ordem
dada por
. Calcule
. Supondo
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
onde
é derivável até a segunda ordem. A tarefa é encontrar a segunda derivada de
, ou seja,
, e depois calcular
sabendo que
. Vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de
, que é
. Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Calculando
:
Agora, calculando
usando a regra da cadeia. Se temos
, então
, onde
.
Calculando
:
Portanto,
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a segunda derivada
. Isso significa derivar
. Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivar
:
Usando a regra da cadeia:
Segundo, derivar
:
Aqui, temos um produto de três funções:
,
, e
.
Vamos usar a regra do produto passo a passo:
Primeiro, derivar
:
Segundo, derivar
:
Usando a regra do produto novamente:
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos juntar as partes para obter
:
Substituindo o que calculamos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos calcular
. Vamos substituir
na expressão que encontramos.
Primeiro, calculamos
e
.
Então:
E:
Agora, substituindo
:
Simplificando:
Sabemos que
, então:
Resposta
O valor de
é
.
Exercícios relacionados
Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Mostre que a função
é derivável apenas em
.
Encontre o dominio e a imagem das funçōes