Sejam uma função derivável até ordem dada por . Calcule . Supondo , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função onde é derivável até a segunda ordem. A tarefa é encontrar a segunda derivada de , ou seja, , e depois calcular sabendo que . Vamos usar regras de derivação como a regra do produto e a regra da cadeia para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a primeira derivada de , que é . Para isso, usamos a regra do produto, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .
Calculando :
Agora, calculando usando a regra da cadeia. Se temos , então , onde .
Calculando :
Portanto,
Agora, aplicando a regra do produto:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada . Isso significa derivar . Vamos derivar cada termo separadamente.
Primeiro, derivar :
Usando a regra da cadeia:
Segundo, derivar :
Aqui, temos um produto de três funções: , , e .
Vamos usar a regra do produto passo a passo:
Primeiro, derivar :
Segundo, derivar :
Usando a regra do produto novamente:
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos juntar as partes para obter :
Substituindo o que calculamos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Vamos substituir na expressão que encontramos.
Primeiro, calculamos e .
Então:
E:
Agora, substituindo :
Simplificando:
Sabemos que , então:

Resposta

O valor de é .

Exercícios relacionados

Encontre as derivadas de segunda ordem para as funções abaixo:
Mostre que a função é derivável apenas em .
Encontre o dominio e a imagem das funçōes