Encontre as dimensões de um retângulo com o perímetro de 100 m cuja área seja a maior possível.

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 100 m e uma área máxima. Estamos lidando com geometria e otimização, então precisamos usar algumas fórmulas para área e perímetro de um retângulo. Vamos precisar da fórmula do perímetro, que é P = 2(l + a), onde l é o comprimento e a é a largura. E a área do retângulo é dada por A = l times a.

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é entender que temos a seguinte equação para o perímetro:
P = 2(l + a) = 100.
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por 2, assim:
l + a = 50.
Agora, se rearranjarmos essa equação para expressar a em termos de l, ficamos com:
a = 50 - l.

Passo 3

Agora que temos a em termos de l, podemos substituir isso na fórmula da área para que possamos escrever a área apenas em termos de l:
A = l times a = l times (50 - l).
A fórmula agora fica:
A(l) = l(50 - l) = 50l - l^2.
Essa é uma função quadrática e, para maximizar a área, podemos usar a fórmula do vértice, que nos dá o valor de l que maximiza essa função. A fórmula do vértice para uma função do tipo ax^2 + bx + c é lv = -b2a. Aqui, a = -1 e b = 50.

Passo 4

Substituindo na fórmula do vértice, temos:
lv = -502 times -1 = 502 = 25.
Então, o comprimento que maximiza a área é 25 m.

Passo 5

Agora que sabemos o valor de l, precisamos encontrar a. Nesse caso, substituímos l na equação que encontramos antes:
a = 50 - l = 50 - 25 = 25 m.
Portanto, a largura também é 25 m.

Resposta

As dimensões do retângulo são 25 m de comprimento e 25 m de largura. Assim, o retângulo que tem a maior área possível com um perímetro de 100 m é, na verdade, um quadrado de 25 m de lado.

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