Encontre as dimensões de um retângulo com o perímetro de 100 m cuja área seja a maior possível.
Passo 1
O exercício pede para encontrarmos as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 100 m e uma área máxima. Estamos lidando com geometria e otimização, então precisamos usar algumas fórmulas para área e perímetro de um retângulo. Vamos precisar da fórmula do perímetro, que é , onde é o comprimento e é a largura. E a área do retângulo é dada por .
Passo 2
A primeira coisa que precisamos fazer é entender que temos a seguinte equação para o perímetro: .
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por 2, assim: .
Agora, se rearranjarmos essa equação para expressar em termos de , ficamos com: .
Passo 3
Agora que temos em termos de , podemos substituir isso na fórmula da área para que possamos escrever a área apenas em termos de : .
A fórmula agora fica: .
Essa é uma função quadrática e, para maximizar a área, podemos usar a fórmula do vértice, que nos dá o valor de que maximiza essa função. A fórmula do vértice para uma função do tipo é . Aqui, e .
Passo 4
Substituindo na fórmula do vértice, temos: .
Então, o comprimento que maximiza a área é 25 m.
Passo 5
Agora que sabemos o valor de , precisamos encontrar . Nesse caso, substituímos na equação que encontramos antes: m.
Portanto, a largura também é 25 m.
Resposta
As dimensões do retângulo são 25 m de comprimento e 25 m de largura. Assim, o retângulo que tem a maior área possível com um perímetro de 100 m é, na verdade, um quadrado de 25 m de lado.