Encontre as dimensões de um retângulo com o perímetro de 100 m cuja área seja a maior possível.
Passo 1
O exercício pede para encontrarmos as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 100 m e uma área máxima. Estamos lidando com geometria e otimização, então precisamos usar algumas fórmulas para área e perímetro de um retângulo. Vamos precisar da fórmula do perímetro, que é
, onde
é o comprimento e
é a largura. E a área do retângulo é dada por
.
Passo 2
A primeira coisa que precisamos fazer é entender que temos a seguinte equação para o perímetro:
.
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por 2, assim:
.
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por 2, assim:
Agora, se rearranjarmos essa equação para expressar
em termos de
, ficamos com:
.
Passo 3
Agora que temos
em termos de
, podemos substituir isso na fórmula da área para que possamos escrever a área apenas em termos de
:
.
A fórmula agora fica:
.
Essa é uma função quadrática e, para maximizar a área, podemos usar a fórmula do vértice, que nos dá o valor de
que maximiza essa função. A fórmula do vértice para uma função do tipo
é
. Aqui,
e
.
Passo 4
Substituindo na fórmula do vértice, temos:
.
Então, o comprimento que maximiza a área é 25 m.
Passo 5
Agora que sabemos o valor de
, precisamos encontrar
. Nesse caso, substituímos
na equação que encontramos antes:
m.
Portanto, a largura também é 25 m.
Resposta
As dimensões do retângulo são 25 m de comprimento e 25 m de largura. Assim, o retângulo que tem a maior área possível com um perímetro de 100 m é, na verdade, um quadrado de 25 m de lado.