Encontre as dimensões de um retângulo com o perímetro de 100 m cuja área seja a maior possível.

Passo 1

O exercício pede para encontrarmos as dimensões de um retângulo que tem um perímetro de 100 m e uma área máxima. Estamos lidando com geometria e otimização, então precisamos usar algumas fórmulas para área e perímetro de um retângulo. Vamos precisar da fórmula do perímetro, que é , onde é o comprimento e é a largura. E a área do retângulo é dada por .

Passo 2

A primeira coisa que precisamos fazer é entender que temos a seguinte equação para o perímetro:
.
Podemos simplificar isso dividindo ambos os lados por 2, assim:
.
Agora, se rearranjarmos essa equação para expressar em termos de , ficamos com:
.

Passo 3

Agora que temos em termos de , podemos substituir isso na fórmula da área para que possamos escrever a área apenas em termos de :
.
A fórmula agora fica:
.
Essa é uma função quadrática e, para maximizar a área, podemos usar a fórmula do vértice, que nos dá o valor de que maximiza essa função. A fórmula do vértice para uma função do tipo é . Aqui, e .

Passo 4

Substituindo na fórmula do vértice, temos:
.
Então, o comprimento que maximiza a área é 25 m.

Passo 5

Agora que sabemos o valor de , precisamos encontrar . Nesse caso, substituímos na equação que encontramos antes:
m.
Portanto, a largura também é 25 m.

Resposta

As dimensões do retângulo são 25 m de comprimento e 25 m de largura. Assim, o retângulo que tem a maior área possível com um perímetro de 100 m é, na verdade, um quadrado de 25 m de lado.

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