Avalie a integral definida.
Passo 1
Vamos avaliar a integral definida
. O conteúdo aqui é cálculo integral, e para resolver essa integral, vamos precisar usar um truque chamado substituição trigonométrica, que facilita lidar com expressões que têm a forma
.
Passo 2
Para a substituição trigonométrica, vamos usar a substituição
. Com isso, temos:
- O diferencial
. - Quando
, , e quando , .
Substituindo esses valores na integral, temos:
Agora vamos substituir tudo na integral:
Passo 3
Agora, precisamos resolver a integral
. Podemos usar a identidade
para facilitar:
A primeira parte já sabemos que é
. Para a segunda parte, vamos usar a substituição
, e
. Assim temos:
Agora substituindo tudo de volta na integral:
Precisamos avaliar isso de
a
:
Calculando os limites:
- Para
: . - Para
: .
Assim, a integral de
a
é:
Portanto, nossa integral original se torna:
Resposta
A resposta final para a integral definida
é
.