Avalie a integral definida.

Passo 1

Vamos avaliar a integral definida . O conteúdo aqui é cálculo integral, e para resolver essa integral, vamos precisar usar um truque chamado substituição trigonométrica, que facilita lidar com expressões que têm a forma .

Passo 2

Para a substituição trigonométrica, vamos usar a substituição . Com isso, temos:
  • O diferencial .
  • Quando , , e quando , .
Substituindo esses valores na integral, temos:
Agora vamos substituir tudo na integral:

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral . Podemos usar a identidade para facilitar:
A primeira parte já sabemos que é . Para a segunda parte, vamos usar a substituição , e . Assim temos:
Agora substituindo tudo de volta na integral:
Precisamos avaliar isso de a :
Calculando os limites:
  • Para : .
  • Para : .
Assim, a integral de a é:
Portanto, nossa integral original se torna:

Resposta

A resposta final para a integral definida é .

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