Avalie a integral definida.
integral0^a x raiza^2-x^2 d x

Passo 1

Vamos avaliar a integral definida integral0^a x raiza^2-x^2 , dx. O conteúdo aqui é cálculo integral, e para resolver essa integral, vamos precisar usar um truque chamado substituição trigonométrica, que facilita lidar com expressões que têm a forma raiza^2 - x^2.

Passo 2

Para a substituição trigonométrica, vamos usar a substituição x = a sin(theta). Com isso, temos:
  • O diferencial dx = a cos(theta) , dtheta.
  • Quando x = 0, theta = 0, e quando x = a, theta = pi2.
Substituindo esses valores na integral, temos:
raiza^2 - x^2 = raiza^2 - (a sin(theta))^2 = raiza^2(1 - sin^2(theta)) = raiza^2 cos^2(theta) = a cos(theta)
Agora vamos substituir tudo na integral:
integral0^a x raiza^2-x^2 , dx = integral0^pi2 (a sin(theta))(a cos(theta))(a cos(theta) , dtheta) = a^3 integral0^pi2 sin(theta) cos^2(theta) , dtheta

Passo 3

Agora, precisamos resolver a integral integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta. Podemos usar a identidade cos^2(theta) = 1 - sin^2(theta) para facilitar:
integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta = integral sin(theta) (1 - sin^2(theta)) , dtheta = integral sin(theta) , dtheta - integral sin^3(theta) , dtheta
A primeira parte já sabemos que é -cos(theta). Para a segunda parte, vamos usar a substituição u = sin(theta), e du = cos(theta) , dtheta. Assim temos:
integral sin^3(theta) , dtheta = integral u^3 , du = u^44 = sin^4(theta)4
Agora substituindo tudo de volta na integral:
integral sin(theta) cos^2(theta) , dtheta = -cos(theta) - sin^4(theta)4 + C
Precisamos avaliar isso de 0 a pi2:
[-cos(theta) - sin^4(theta)4]0^pi2
Calculando os limites:
  • Para theta = pi2: -cos(pi2) - sin^4(pi2)4 = 0 - 14 = -14.
  • Para theta = 0: -cos(0) - sin^4(0)4 = -1 - 0 = -1.
Assim, a integral de 0 a pi2 é:
-14 - (-1) = 1 - 14 = 34
Portanto, nossa integral original se torna:
a^3 cdot 34 = 3a^34

Resposta

A resposta final para a integral definida integral0^a x raiza^2-x^2 , dx é 3a^34.

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